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Hab mal eine Frage..
Ich soll hier die komplexen Zahlen jeweils in der Form x + iy ; x; y [mm] \in [/mm] R und in Polarkoordinaten angeben
[mm] zi=\bruch{3}{2}i+\bruch{2-i}{2i}
[/mm]
Mein Ergebnis ist dann [mm] \bruch{-1}{2}+\bruch{1}{2}i
[/mm]
wie rechne ich jetzt weiter..
das ergebnis soll [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}e^\bruch{3}{4}\pi*i [/mm] sein
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Hallo Anika,
> Hab mal eine Frage..
> Ich soll hier die komplexen Zahlen jeweils in der Form x +
> iy ; x; y [mm]\in[/mm] R und in Polarkoordinaten angeben
> [mm]zi=\bruch{3}{2}i+\bruch{2-i}{2i}[/mm]
> Mein Ergebnis ist dann [mm]\bruch{-1}{2}+\bruch{1}{2}i[/mm]
Hmm, hast du irgendwo in der Aufgabenstellung einen Tippfehler?
Ich komme mit [mm] $zi=\frac{3}{2}i+\frac{2-i}{2i}$ [/mm] nach Multiplikation mit $-i$ auf beiden Seiten und Zusammenfassen auf [mm] $z=\red{+}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$
[/mm]
> wie rechne ich jetzt weiter..
> das ergebnis soll [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}e^\bruch{3}{4}\pi*i[/mm]
> sein
Nun, je nachdem, welches unserer Ergebnisse richtig ist, kommt man alternativ auf [mm] $z=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}e^{\frac{\pi}{4}i}$
[/mm]
Zeichne die komplexe Zahl, die du erhältst, sei es nun deine oder meine, in ein Koordinatensystem.
Die Darstellung [mm] $z=|z|\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i}$ [/mm] kannst du dann wie folgt berechnen.
Den Betrag kannst du einfach über die Definition des Betrages einer komplexen Zahl berechnen.
Den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] kannst du schön im Koordinatensystem ablesen, da brauchst du die "komische" ![[]](/images/popup.gif) arctan-Formel nicht.
LG
schachuzipus
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Hi, danke für die schnelle Antwort. 
Mein Ergebnis müsste eigentlich richtig sein. Ich bekomme [mm] \bruch{3}{2}i-i-\bruch{1}{2} [/mm] heraus, also das Ergebnis welches ich habe.
Das Problem ist, das wir die Art von Aufgabe rechnerisch bearbeitet haben. Es ging irgendwie so weiter...
[mm] \vmat{ z1}=\wurzel{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] z1=\bruch{1}{\wurzel{2}}*(\bruch{\wurzel{2}}{-2}+\bruch{\wurzel{2} }{2}*i)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}}*(cos\bruch{3}{4}\pi+i*sin\bruch{3}{4}\pi)
[/mm]
= das ergebnis welches ich vorhin eingetragen habe
Danke
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...und das ist mein Problem. Ich verstehe nicht, was sie da gemacht haben?
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Hallo nochmal,
> Hi, danke für die schnelle Antwort.
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> Mein Ergebnis müsste eigentlich richtig sein. Ich bekomme
> [mm]\bruch{3}{2}i-i-\bruch{1}{2}[/mm] heraus, also das Ergebnis
> welches ich habe.
Nun, du hast oben die Gleichung [mm] $zi=\frac{3}{2}i+\frac{2-i}{2i}$ [/mm] angegeben.
Es ist [mm] $i\cdot{}(-i)=-i^2=-(-1)=1$, [/mm] also multipliziere ich auf beiden Seiten mit $-i$, um z zu isolieren:
[mm] $\Rightarrow [/mm] z \ = \ [mm] -i\cdot{}\left(\frac{3}{2}i+\frac{2-i}{2i}\right)=\frac{3}{2}i\cdot{}(-i)+\frac{2-i}{2\red{i}}\cdot{}(-\red{i})=\frac{3}{2}+\frac{i-2}{2}=\frac{3-2}{2}+\frac{i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$
[/mm]
> Das Problem ist, das wir die Art von Aufgabe rechnerisch
> bearbeitet haben. Es ging irgendwie so weiter...
> [mm]\vmat{ z1}=\wurzel{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]z1=\bruch{1}{\wurzel{2}}*(\bruch{\wurzel{2}}{-2}+\bruch{\wurzel{2} }{2}*i)[/mm]
Hier wird der Betrag berechnet, für $w=x+iy$ ist [mm] $|w|=\sqrt{x^2+y^2}$, [/mm] hier mit [mm] $x=\frac{1}{2}=y$ [/mm] bzw. bei deinem Ergebnis [mm] $x=-\frac{1}{2}$
[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel{2}}*(cos\bruch{3}{4}\pi+i*sin\bruch{3}{4}\pi)[/mm]
Hier liest man den Winkel der m.E. falsch berechneten Zahl im Koordinatensystem ab.
Die Zahl [mm] $z=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$ [/mm] liegt im 2. Quadranten und schließt mit der x-Achse im Gegenuhrzeigersinn einen Winkel von [mm] 135^\circ [/mm] ein (resp. [mm] $\frac{3}{4}\pi$)
[/mm]
Bei meinem Ergebnis liegt die Zahl im 1.Quadranten und schließt entsprechend einen Winkel von [mm] $45^\circ$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{\pi}{4}$ [/mm] ein.
> = das ergebnis welches ich vorhin eingetragen habe
> Danke
Gerne
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo schachuzipus!
Ich glaube, ihr beide redet wegen eines Tippfehlers aneinander vorbei.
Ganz oben soll es wohl [mm] $z_{\red{1}}$ [/mm] und nicht etwa $z \ [mm] \red{*i}$ [/mm] heißen.
Damit stimmt auch Anikas Zwischenergebnis!
Gruß
Loddar
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Oh ja, Loddar hat recht... sorry...
Hab eigentlich alles verstanden, nur wie kommt man von dem einen zum anderen. Hat das etwas mit den Betragstrichen zu tun?
[mm] \vmat{ z1}=\wurzel{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] z1=\bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}(\bruch{\wurzel{2}}{-2}+\bruch{\wurzel{2} }{2}\cdot{}i)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anika!
Es gilt:
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\blue{\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Oh man, warum sehe ich das nie..
so ist es mir klar! Kannst du mir bitte auch noch bei dieser Aufgabe helfen..?
[mm] (\bruch{2+8i}{3-5i})^7
[/mm]
Ich meine die Klammer hoch 7. Ich habe keine Probleme damit die Klammer auszurechenen, nur die hoch 7 macht mir Probleme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anika!
Rechne erst den Term innerhalb der Klammer um in die Form $x+i*y_$ .
Verwende anschließend die  Moivre-Formel.
Gruß
Loddar
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Irgendwie bekomme ich immer noch nicht das Ergebnis heraus...
Ich habe die Aufgabe [mm] (\bruch{2+8i}{3-5i})^{7} [/mm] und erhalte -1+i
als z=x+yi
Dies in die Formel http://www.matheforum.net/wissen/Moivre-Formel eingegenen:
[mm] z7=\wurzel[7]{2}[cos (\bruch{\bruch{\wurzel{2}}{2}+6*2\pi}{7})+i*sin(\bruch{\bruch{\wurzel{2}}{2}+6*2\pi}{7})]
[/mm]
Das kann aber nicht richtig sein, da das Ergebnis [mm] 8\wurzel{2}[cos(\bruch{-3}{4}\pi)+i*sin(\bruch{-3}{4}\pi)] [/mm] sein müsste.
Kann mir jemand helfen...?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Irgendwie bekomme ich immer noch nicht das Ergebnis
> heraus...
>
> Ich habe die Aufgabe [mm](\bruch{2+8i}{3-5i})^{7}[/mm] und erhalte
> -1+i
Hallo,
es gilt (erweitern mit dem komplex Konjugierten des Nenners)
[mm] $\frac{2+8i}{3-5i}=\frac{(2+8i)\cdot(3+5i)}{(3-5i)\cdot(3+5i)}=\frac{6+24i+10i-40}{9-15i+15i+25}=\frac{-34+34i}{34}=-1+i$
[/mm]
Damit erhalten wir
[mm] $\left(\frac{2+8i}{3-5i}\right)^7=\left(-1+i\right)^7=-8-8i$
[/mm]
> als z=x+yi
> Dies in die Formel
> http://www.matheforum.net/wissen/Moivre-Formel eingegenen:
>
> [mm]z7=\wurzel[7]{2}[cos (\bruch{\bruch{\wurzel{2}}{2}+6*2\pi}{7})+i*sin(\bruch{\bruch{\wurzel{2}}{2}+6*2\pi}{7})][/mm]
>
> Das kann aber nicht richtig sein, da das Ergebnis
> [mm]8\wurzel{2}[cos(\bruch{-3}{4}\pi)+i*sin(\bruch{-3}{4}\pi)][/mm]
> sein müsste.
> Kann mir jemand helfen...?
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Hi, danke für die schnelle Antwort.
Gibt es eine Rechenmethode für z.B [mm] (1+i)^{7} [/mm] um diese schneller ausrechenzu können. Ich meine schneller als alles einzeln auszumultiplizieren
z.b [mm] (1+i)^{2}*(1+i)^{2}*(1+i)^{2}*(1+i)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi, danke für die schnelle Antwort.
>
> Gibt es eine Rechenmethode für z.B [mm](1+i)^{7}[/mm] um diese
> schneller ausrechenzu können. Ich meine schneller als
> alles einzeln auszumultiplizieren
> z.b [mm](1+i)^{2}*(1+i)^{2}*(1+i)^{2}*(1+i)[/mm]
[mm] $(1+i)^2= [/mm] 2i$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hinweis: Dir ist aber hoffentlich klar, dass ich $-1+i$ und nicht $1+i$ in meiner Antwort geschrieben habe, oder?!
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