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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Mo 13.04.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Für welche z [mm] \in \IC [/mm] gilt cos(z) [mm] \in [/mm] [-1,1]? |
Ich habe mal den Conius "umgeformt":
cos(z) = cos(x+iy) = cos(x)*cos(iy) - sin(x)*sin(iy) = cos(x)*cosh(y) - i*sin(x)*sinh(y)
Daraus folgt:
Es muss gelten: sin(x)*sinh(y) = 0 und cos(x)*cosh(y) [mm] \in [/mm] [-1,1].
sin(x)*sinh(y) = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0 [mm] \vee x=\pi \vee [/mm] y = 0.
Doch wie kann ich x und y für cos(x)*cosh(y) [mm] \in [/mm] [-1,1] bestimmen?
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Hallo!
Im ersten Teil hast du doch schon ziemliche Restriktionen, wobei du dir da eine Ungenauigkeit erlaubt hast:
[mm] $x=\red{n\pi\quadn\in\IZ}\quad\vee\quad [/mm] y=0$
Eine der Bedingungen muß auf jeden Fall erfüllt sein, und damit ist auch immer einer der Faktoren in deiner letzten Gleichung immer festgelegt:
$y=0 \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \cosh(y)=1 [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] cos(x)*1\in[-1;1] [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] x\in\IR$
[/mm]
Die Forderung ist also für rein reelle z erfüllt. Welch Überraschung!
Und was ist mit [mm] $x={n\pi\quadn\in\IZ}$ [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Mo 13.04.2009 | | Autor: | johnny11 |
> Und was ist mit [mm]x={n\pi\quadn\in\IZ}[/mm] ?
Daraus folgt, dass y = 0 sein muss.
Also gilt insgesamt, dass y=0 sein muss, damit cos(x+iz) [mm] \in [/mm] [-1,1] ist.
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:58 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Und was ist mit [mm]x={n\pi\quadn\in\IZ}[/mm] ?
>
> Daraus folgt, dass y = 0 sein muss.
> Also gilt insgesamt, dass y=0 sein muss, damit cos(x+iz)
anstatt z meintest Du sicher [mm] $y\,.$
[/mm]
> [mm]\in[/mm] [-1,1] ist.
> Stimmt das?
Ja. Denn es war doch noch die Frage, wie das ganze für [mm] $x=n*\pi$ [/mm] ($n [mm] \in \IZ$) [/mm] aussehe. Für [mm] $x=n*\pi$ [/mm] ($n [mm] \in \IZ$) [/mm] gilt doch sicherlich
[mm] $$\sin(x)*\sinh(y)=0*\sinh(y)=0\,,$$
[/mm]
aber für welche [mm] $y\,$ [/mm] gilt denn dann noch die zweite Bedingung
[mm] $$\cos(x)*\cosh(y) \in [-1,1]\text{?}$$
[/mm]
Da bleibt nur $y=0$ über. (Das ergibt sich aus [mm] $|\cos(n*\pi)|=1$ [/mm] und [mm] $\cosh(y) [/mm] > 1$ für $y [mm] \in \IR \setminus \{0\}\,.$)
[/mm]
Ich habe übrigens noch einen alternativen Rechenweg (welcher sich natürlich nicht wesentlich von Deinem unterscheidet):
Für $z=x+i*y [mm] \in \IC=\IR+i*\IR$ [/mm] gilt:
[mm] $$\cos(z)=\cos(x+i*y)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\frac{e^{ix}e^{-y}+e^{-ix}e^{y}}{2}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{\cos(x)e^{-y}+\cos(-x)e^{y}}{2}+i*\frac{\sin(x)e^{-y}-\sin(x)e^{y}}{2}\,.$$
[/mm]
Damit ist [mm] $\text{Im}\big(\cos(z)\big)=0$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $y=0\,$ [/mm] oder [mm] $x=n*\pi$ [/mm] ($n [mm] \in \IZ$). [/mm] Somit gilt (unter Beachtung von [mm] $|\cos(\pm [/mm] x)| [mm] \le [/mm] 1$), dass
[mm] $$\cos(z) \in [/mm] [-1,1]$$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
$$y=0 [mm] \text{ oder }\Big(x=n\pi [/mm] (n [mm] \in \IZ) \text{ und }\frac{\cos(x)e^{-y}+\cos(-x)e^{y}}{2} \in [-1,1]\Big)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
$$y=0 [mm] \text{ oder } \left\Big|\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right\Big|=\frac{e^y+e^{-y}}{2} \le [/mm] 1$$
[mm] $$\gdw y=0\,.$$
[/mm]
Zu beachten dabei ist:
Es gilt [mm] $(e^y+e^{-y})/2 [/mm] > 1$ für $y [mm] \in \IR \setminus \{0\}\,,$ [/mm] da
[mm] $$e^{y}+e^{-y} [/mm] > 2$$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$\Big(e^{y}-1\Big)^2 [/mm] > [mm] 0\,,$$
[/mm]
und die letztstehende Ungleichung gilt wegen [mm] $|e^y-1| [/mm] > 0$ für $y [mm] \in \IR \setminus\{0\}\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mo 13.04.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Yep tiptop. Vielen Dank für deine Ausführlichen Erläuterungen!
lg johnny11
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