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| Aufgabe | Sei f stetig und
FR(x)=[mm] \summe_{n= -\infty}^{\infty}c_n * e^{inx} [/mm], [mm]x\in\IR [/mm]
die zugehörige Fourriereihe in komplexer Schreibweise, wobei [mm] c_0 = 0 [/mm] gelten soll.
Sei [mm] F(x)= \integral_{0}^{x}{f(t) dt} = F(x) - F(0) \to F(0) = 0 [/mm]
Zeigen Sie dass F [mm]2 \pi[/mm]-periodisch ist und berechnen Sie die Fourierkoeffizienten [mm] g_n [/mm] von F. |
Mein Problem ist zu zeigen, dass F [mm] 2\pi[/mm]-periodisch ist!
Die Musterlösung sagt hierzu folgendes:
[mm]F(x + 2\pi) [/mm]=[mm] \integral_{0}^{x + 2\pi}{f(t) dt}[/mm] =[mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] F(x) [/mm]
Daraus folgt zwar, dass F [mm]2\pi[/mm]-periodisch ist, aber ich verstehe diesen Schritt einfach nicht.
Eine allgemeine Frage zu komplexen Fourrierreihen möchte ich hierbei auch noch loswerden: In meiner Mathe-Vorlesung bzw. Mathe-Übung und auch vielerorts im Interntet werden komplexe Fourrierkoeffizienten wie folgt berechnet:
[mm] c_k [/mm]= [mm]\bruch {1}{p} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) * e^{-i*\bruch{2\pi}{p}*k*x} dx} [/mm]
Im Buch "Formeln + Hilfen zur höheren Mathematik" erschienen im Binomi-Verlag lautet die allgemeine Formel aber so:
[mm] c_k [/mm]= [mm]\bruch{1}{p} \integral_{0}^{p}{f(x) * e^{-i*\bruch{2\pi}{p}*k*x} dx} [/mm]
Die beiden Formeln unterscheiden sich also nur durch die Integralgrenzen und ich hatte schon Aufgaben, bei denen mit beiden Formlen das gleiche Ergebnis rauskam.
Benutzt man bei dieser Aufgabe nun die 1. Formel, so sehe ich auch eine Möglichkeit zu zeigen, dass F [mm]2\pi[/mm]-periodisch ist:
[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] = 0 (laut Aufgabenstellung) (die e-Fkt fliegt raus, weil k = 0 ist und [mm]e^0[/mm] = 1 ist.
Das ist äquivalent mit:
0 = [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx}[/mm]
[mm]\gdw 0[/mm] = [mm]F(\pi) - F(-\pi)[/mm]
Und daraus würde meines Erachtens nach folgen, dass F eben [mm]2\pi[/mm]-periodisch ist. Unter Benutzung der 2. Formel bekommt man die Periodizität so nicht heraus. Die einzig treffbare Aussage ist in diesem Fall:
[mm]F(p) - F(0)[/mm] = [mm]0[/mm]
Wobei p die Periode ist. Bei dieser Gleichung kann p nun jedoch beliebig sein!
Zusammenfassend: Welche Formel für [mm]c_k[/mm] ist verbindlich oder sind beide anwendbar mal eher die eine, mal eher die andere. Bitte um Erklärung der Musterlösung sehr weit oben bzw. Erklärung der [mm]2\pi[/mm]-Peridodizität von F.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und bedanke mich für Eure Hilfe!!
Grüße,
Andy
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Hallo Andy,
ich denke, Deine Konfusion rührt hauptsächlich daher, dass in machen Büchern nur für [mm] $2\pi$-periodische [/mm] funktionen behandelt werden, in anderen allgemeiner für $T$-periodische.
im endeffekt sagen alle formeln das gleiche aus.
ich kann dir einen Tip zur periodizität der stammfunktion geben: du musst ausnutzen, dass [mm] $c_0=0$ [/mm] gilt. Wenn du dir das mal konkret hinschreibst, heißt das nichts anderes als dass $f$ auf [mm] $2\pi$-intervallen [/mm] den mittelwert null hat, nämlich
[mm] $\int_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(t)dt=0$.
da f periodisch ist, folgt auch
[mm] $\int_{x}^{x+ 2\pi} [/mm] f(t)dt=0, [mm] \;\forall x\in \IR$.
[/mm]
Wenn du das berücksichtigst, folgt der schritt aus der musterlösung direkt.
Gruß
Matthias
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