komplexer uneig. Integral < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 14.04.2009 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | man löse das uneigentliche Integral für die Fälle:
1. [mm] \alpha [/mm] > 0
2. [mm] \alpha [/mm] < 0
[mm] $\integral_{-\infty}^{0}{ e^{-\alpha |t|}* e^{-j*2*\pi*\nu*t}dt}$ [/mm] |
Fall 1 : [mm] \alpha [/mm] > 0
[mm] $\integral_{-\infty}^{0}{ e^{-\alpha |t|}* e^{-j*2*\pi*\nu*t}dt}$
[/mm]
weil die Integration in diesem bereich stehts ein negatives t hat,
ist [mm] -\alpha [/mm] |t| = + [mm] \alpha [/mm] t
[mm] $\integral_{-\infty}^{0}{ e^{\alpha t}* e^{-j*2*\pi*\nu*t}dt}$ [/mm] = [mm] $\integral_{-\infty}^{0}{ e^{t( \alpha -j*2*\pi*\nu)}dt}$ [/mm] = [mm] $\vmat{\bruch{1}{\alpha -j*2*\pi * \nu}*e^{\alpha t}* e^{-j*2*\pi*\nu*t}}_{-\infty}^{0}$
[/mm]
aber hier komme ich nicht weiter da ich einen grenzübergang ins [mm] -\infty [/mm] machen muss.
[mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}* e^{-j*2*\pi*\nu*t})$
[/mm]
ich vermutte das das hier :
[mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}* e^{-j*2*\pi*\nu*t})$ [/mm] = [mm] "0*\infty" [/mm] ergibt
kann mir einer hier helfen ?
danke für jeden Tipp.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Für [mm] \alpha [/mm] > 0 und den Grenzwert
$ [mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}) [/mm] $
beachte, dass
[mm] $|e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}| [/mm] = 1 $
ist !! Dann folgt:
$ [mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t})= [/mm] 0 $
FRED
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 14.04.2009 | | Autor: | masa-ru |
hallo FRED,
danke für die schnelle Antwort!
>
> beachte, dass
>
> [mm]|e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}| = 1[/mm]
>
> ist !!
wenn es so ist, ist die nachfolgende Folgerung richtig.
ich stehe gerade auf dem schlauch warum ist es 1 ?
wegen den Betrag? denn habe ich aber nicht in der Klammer ?
also das sollte nicht den Betrag darstellen sondern die Klammer (grenzwerte)
$ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{ e^{t( \alpha -j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu)}dt} [/mm] $ = [mm] $[\bruch{1}{\alpha -j\cdot{}2\cdot{}\pi \cdot{} \nu}\cdot{}e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}]_{-\infty}^{0} [/mm] $
?
LG
masa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 14.04.2009 | | Autor: | masa-ru |
Also wie FRED richtig sagte, der Betrag muss her.
Also damit bestimmt man die absolute Konvergenz dieser komplexen zahl.
"Eine Reihe [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] komplexer Zahlen konvergiert zumindest dann, wenn sie absolut konvergiert, wenn also die Reihe der Absolutbeträge [mm] \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| [/mm] konvergiert"
Quelle: WIKI
kann man das glauben ?
mfg
masa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also wie FRED richtig sagte, der Betrag muss her.
>
> Also damit bestimmt man die absolute Konvergenz dieser
> komplexen zahl.
Wovon sprichst Du ??
>
> "Eine Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] komplexer Zahlen
> konvergiert zumindest dann, wenn sie absolut konvergiert,
> wenn also die Reihe der Absolutbeträge [mm]\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|[/mm]
> konvergiert"
> Quelle: WIKI
>
Was soll das hier ??
>
> kann man das glauben ?
Ja, aus der absoluten Konvergenz einer Reihe folgt deren Konvergenz
FRED
> mfg
> masa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Di 14.04.2009 | | Autor: | masa-ru |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > Also wie FRED richtig sagte, der Betrag muss her.
>
>
>
>
> >
> > Also damit bestimmt man die absolute Konvergenz dieser
> > komplexen zahl.
>
> Wovon sprichst Du ??
>
$ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}) $ = $\underbrace{ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}} ) }_{0} * \underbrace{ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t})}_{1}$
also es ging darum den Limes bei der Komplexen zahl zu bestimmen.
und in der Wiki ist dieses erklärt wie du bereits gesagt hast mit dem Betrag.
also wenn ich den Betrag dieser komplexer zahl habe ist dies auch der grenzwert?
LG
masa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Also wie FRED richtig sagte, der Betrag muss her.
> >
> >
> >
> >
> > >
> > > Also damit bestimmt man die absolute Konvergenz dieser
> > > komplexen zahl.
> >
> > Wovon sprichst Du ??
> >
>
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t})[/mm]
> = [mm]\underbrace{ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{\alpha t}} ) }_{0} * \underbrace{ \limes_{t\rightarrow -\infty}(e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t})}_{1}[/mm]
>
Das ist Unsinn.
Der Grenzwert
[mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t} [/mm] $
existiert i.a. nicht !!
Hast Du meine Antwort
https://matheraum.de/read?i=536038
nicht gelesen ?
FRED
> also es ging darum den Limes bei der Komplexen zahl zu
> bestimmen.
>
> und in der Wiki ist dieses erklärt wie du bereits gesagt
> hast mit dem Betrag.
> also wenn ich den Betrag dieser komplexer zahl habe ist
> dies auch der grenzwert?
>
>
>
> LG
> masa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo FRED,
> danke für die schnelle Antwort!
> >
> > beachte, dass
> >
> > [mm]|e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}| = 1[/mm]
> >
> > ist !!
>
> wenn es so ist, ist die nachfolgende Folgerung richtig.
>
> ich stehe gerade auf dem schlauch warum ist es 1 ?
>
> wegen den Betrag? denn habe ich aber nicht in der Klammer
> ?
> also das sollte nicht den Betrag darstellen sondern die
> Klammer (grenzwerte)
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{ e^{t( \alpha -j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu)}dt}[/mm]
> = [mm][\bruch{1}{\alpha -j\cdot{}2\cdot{}\pi \cdot{} \nu}\cdot{}e^{\alpha t}\cdot{} e^{-j\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}\nu\cdot{}t}]_{-\infty}^{0}[/mm]
>
> ?
>
> LG
> masa
1. Für x [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] $e^{jx} [/mm] = cos(x) +j sin(x)$, daher ist [mm] $|e^{jx}|$ [/mm] = 1
2. Du sollst
[mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t}
[/mm]
berechnen, wobei [mm] $\beta [/mm] = -2 [mm] \pi \nu$
[/mm]
Es ist
[mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}|e^{\alpha t}e^{j \beta t}|= \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}|e^{j \beta t}|= \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t} [/mm] = 0$,
also auch
[mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t} [/mm] = 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 14.04.2009 | | Autor: | masa-ru |
hmm :-(
> 1. Für x [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]e^{jx} = cos(x) +j sin(x)[/mm], daher ist
> [mm]|e^{jx}|[/mm] = 1
>
das ist auch korrekt, "denn die länge des Zeigers ist hier 1" .
Aber wenn die komplexe zahl in den Betrag genomen wird, bzw wenn die länge bestimmt werden soll.
> 2. Du sollst
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t}[/mm]
>
> berechnen, wobei [mm]\beta = -2 \pi \nu[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty}|e^{\alpha t}e^{j \beta t}|= \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}|e^{j \beta t}|= \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t} = 0[/mm],
>
>
> also auch
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t}[/mm] = 0
>
> FRED
ich kann nur nicht verstehen wo du immer den Betrag her holst ???
[mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}e^{\alpha t}e^{j \beta t} [/mm] =>(?) [mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}|e^{\alpha t}e^{j \beta t}|$ [/mm]
LG
masa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Allgemein gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow x_0}|f(x)| [/mm] = 0
Hilft das ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Di 14.04.2009 | | Autor: | masa-ru |
fred97 danke dir !
LG
masa
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