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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Excel |
Hab da ein Problem bei ner Aufgabe. Schaff die nicht zu lösen. Bitte um Hilfe.
Aufgabe:
Wie muss man den Radius und die Höhe einr zylindrischen Dose vom Volumen V (250pi [mm] cm^3) [/mm] wählen, damit die Oberfläche minimal wird?
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Hallo,
[mm]V = \pi*r^{2}*h = 250*\pi cm^{3}[/mm]
[mm] \gdw [/mm] h = [mm] \bruch{V}{\pi*r^{2}}
[/mm]
[mm]O = 2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*h = 2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*\bruch{V}{\pi*r^{2}}[/mm]
[mm]O = 2*\pi*r^{2}+ \bruch{2V}{r}[/mm]
Jetzt O nach r ableiten und schauen ob der Extremwert ein Maximum oder Minimum ist.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Excel |
vielen Dank für die Hilfe
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Aus [mm] V=250*\pi [/mm] = [mm] r^{2}*\pi*h [/mm] ergibt sich:
[mm] h=\bruch{250}{r^{2}}
[/mm]
Die Oberfläche des Zylinders setzt sich aus dem Boden und dem Delkel (zwei gleichgroße Kreise) und dem Mantel zusammen. Diese Oberfläche soll ja minimal sein. Also:
[mm] 2r^{2}\pi [/mm] + [mm] 2r\pi*\bruch{250}{r^{2}} [/mm] ist minimal
(Für h habe ich bereits den oben ausgerechneten Wert eingesetzt)
Minimal bedeutet, dass die 1. Ableitung NULL ist.
[mm] 4r*\pi [/mm] - [mm] \bruch{500*\pi}{r^{2}} [/mm] = 0
Wenn man das auflöst dann ergibt sich: [mm] r^{3}=125
[/mm]
Also r=5 und durch Einsetzen in die Formel oben: h=10
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