komplexes Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
| Aufgabe | Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren von
[mm] A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 3\\
1 & 2 & 1\\
2 & -2 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Hängt das Ergebnis Ihrer Rechnung davon ab, ob man die Matrizen über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] betrachtet? |
Hi,
Also ich habe für das charakteristische Polynom [mm] \chi(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] 5\lambda^2 [/mm] + [mm] 4\llambda [/mm] + 10 berechnet.
Somit hab ich meine Eigenwerte von [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1, [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3-i, [mm] \lambda_{3} [/mm] = 3+i
Für [mm] \lambda_{1} [/mm] hab ich den Eigenvektor [mm] \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
[/mm]
Bei [mm] \lambda_{2} [/mm] und [mm] \lambda_{3} [/mm] weiß ich nicht genau, wie ich den Gauß-Algorithmus mit komplexen Zahlen lösen soll. Also bis jetzt habe ich:
[mm] \begin{vmatrix}
1-i & 0 & -3\\
-1 & 1-i & -1\\
-2 & 2 & 2-i
\end{vmatrix}\begin{matrix}
0\\
0\\
0
\end{matrix}
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen, bzw. sagen ob das bis jetzt so stimmt oder ob ich vorher schon einen Fehler gemacht habe?
Gruß Myth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 09.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte
> und Eigenvektoren von
> [mm]A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 3\\
1 & 2 & 1\\
2 & -2 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hängt das Ergebnis Ihrer Rechnung davon ab, ob man die
> Matrizen über [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] betrachtet?
>
> Hi,
> Also ich habe für das charakteristische Polynom
> [mm]\chi(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^3[/mm] - [mm]5\lambda^2[/mm] + [mm]4\llambda[/mm] + 10
> berechnet.
Du meinst sicher: [mm] $\chi(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+4\lambda+10$ [/mm]
> Somit hab ich meine Eigenwerte von [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1,
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3-i, [mm]\lambda_{3}[/mm] = 3+i
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für [mm]\lambda_{1}[/mm] hab ich den Eigenvektor [mm]\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}[/mm]
Ein Eigenvektor ist per Definition vom Nullvektor verschieden, das kann also keiner sein. Wäre ja auch unsinnig, denn die Gleichung [mm] $Ax=\lambda [/mm] x$ ist für $x=0$ immer erfüllt.
>
> Bei [mm]\lambda_{2}[/mm] und [mm]\lambda_{3}[/mm] weiß ich nicht genau, wie
> ich den Gauß-Algorithmus mit komplexen Zahlen lösen soll.
Genauso wie mit reellen Zahlen. Du kannst die imaginäre Einheit wie eine gewöhnliche Variable behandeln.
> Also bis jetzt habe ich:
>
> [mm]\begin{vmatrix}
1-i & 0 & -3\\
-1 & 1-i & -1\\
-2 & 2 & 2-i
\end{vmatrix}\begin{matrix}
0\\
0\\
0
\end{matrix}[/mm]
Zu welchem Eigentwert soll das LGS gehören? Der erste Eintrag muss entweder [mm] $a_{11}=-1-i$ [/mm] oder [mm] $a_{11}=-1+i$
[/mm]
>
> Kann mir jemand weiterhelfen, bzw. sagen ob das bis jetzt
> so stimmt oder ob ich vorher schon einen Fehler gemacht
> habe?
Überprüfe nochmal die Einträge der Matrix und wende dann Gauß wie gewohnt an.
>
> Gruß Myth
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ok danke schon mal.
Dann erstmal zu [mm] \lambda_{1}:
[/mm]
berechnet man die Eigenvektoren jetzt mit [mm] (A-\lambda E)\vec{x}=\vec{0} [/mm] oder [mm] (\lambda E-A)\vec{x}=\vec{0}?
[/mm]
Also ich habe [mm] (\lambda E-A)\vec{x}=\vec{0} [/mm] benutzt und komme auf:
$ [mm] \begin{vmatrix} -3 & 0 & -3\\ -1 & -3 & -1\\ -2 & 2 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0 \end{matrix} [/mm] $
stimmt das so? Wenn ja hab ich mich irgendwie im gauß verrechnet...
Gruß Myth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Sa 09.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Ok danke schon mal.
>
> Dann erstmal zu [mm]\lambda_{1}:[/mm]
> berechnet man die Eigenvektoren jetzt mit [mm](A-\lambda E)\vec{x}=\vec{0}[/mm]
> oder [mm](\lambda E-A)\vec{x}=\vec{0}?[/mm]
Das ist egal, denn beide Gleichungen sind äqivalent (mutlipliziere mit -1)
> Also ich habe
> [mm](\lambda E-A)\vec{x}=\vec{0}[/mm] benutzt und komme auf:
>
> [mm]\begin{vmatrix} -3 & 0 & -3\\ -1 & -3 & -1\\ -2 & 2 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0 \end{matrix}[/mm]
[mm] $\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
-3 & 0 & -3\\
-1 & -3 & -1\\
2- & 2 & -2
\end{array}\right)$
[/mm]
>
> stimmt das so? Wenn ja hab ich mich irgendwie im gauß
Ja.
> verrechnet...
>
> Gruß Myth
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
zweiter Versuch:
Eigenwert zu [mm] \lambda_{1} [/mm] ist [mm] \begin{pmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{pmatrix}
[/mm]
für [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3-i:
allgemein hab ich [mm] det(\lambda*E-A) [/mm] = det [mm] \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 3\\ -1 & \lambda-2 & -1\\ -2 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix}
[/mm]
wenn ich jetzt mein [mm] \lambda_{2} [/mm] einsetzte bekomme ich doch:
[mm] \begin{vmatrix} 1-i & 0 & -3\\ -1 & 1-i & -1\\ -2 & 2 & 2-i \end{vmatrix}
[/mm]
(3-i)-2 = 1-i, weil du vorhin gemeint hattest, dass da -1-i stehen müsste...
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> zweiter Versuch:
>
> Eigenwert zu [mm]\lambda_{1}[/mm] ist [mm]\begin{pmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> für [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3-i:
>
> allgemein hab ich [mm]det(\lambda*E-A)[/mm] = det [mm]\begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 3\\ -1 & \lambda-2 & -1\\ -2 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix}[/mm]
>
> wenn ich jetzt mein [mm]\lambda_{2}[/mm] einsetzte bekomme ich
> doch:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1-i & 0 & -3\\ -1 & 1-i & -1\\ -2 & 2 & 2-i \end{vmatrix}[/mm]
>
Ja.
> (3-i)-2 = 1-i, weil du vorhin gemeint hattest, dass da -1-i
> stehen müsste...
>
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ok, dann bin ich mit Gauß bis jetzt soweit gekommen:
[mm] \begin{vmatrix} 1-i & 0 & -3\\ -1 & 1-i & -1\\ -2 & 2 & 2-i \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & 3 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & 4-\frac{i}{2} \end{vmatrix}
[/mm]
1. is das bis jetzt richtig?
2. macht das überhaupt so sinn, wie ich es gemacht habe?
3. wie geht es jetzt weiter, ich finde keinen weg um zur stufenform zu kommen?
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> Ok, dann bin ich mit Gauß bis jetzt soweit gekommen:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1-i & 0 & -3\\ -1 & 1-i & -1\\ -2 & 2 & 2-i \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & 3 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & 4-\frac{i}{2} \end{vmatrix}[/mm]
Bei der zweiten Matrix hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & \blue{-}3 \end{vmatrix}[/mm]
>
> 1. is das bis jetzt richtig?
> 2. macht das überhaupt so sinn, wie ich es gemacht habe?
> 3. wie geht es jetzt weiter, ich finde keinen weg um zur
> stufenform zu kommen?
>
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
> Hallo Myth,
>
> > Ok, dann bin ich mit Gauß bis jetzt soweit gekommen:
> >
> > [mm]\begin{vmatrix} 1-i & 0 & -3\\ -1 & 1-i & -1\\ -2 & 2 & 2-i \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & 3 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & 4-\frac{i}{2} \end{vmatrix}[/mm]
>
> Bei der zweiten Matrix hat sich ein Vorzeichenfehler
> eingeschlichen:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & \blue{-}3 \end{vmatrix}[/mm]
ok, danke. also hab ich als zweite und dritte Matrix:
[mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & -3 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix}[/mm]
kann ich jetzt die dritte Gleichung mit i durchmultiplizieren und dann minus die erste machen, wäre das sinnvoll?
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> > Hallo Myth,
> >
> > > Ok, dann bin ich mit Gauß bis jetzt soweit gekommen:
> > >
> > > [mm]\begin{vmatrix} 1-i & 0 & -3\\ -1 & 1-i & -1\\ -2 & 2 & 2-i \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & 3 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & 4-\frac{i}{2} \end{vmatrix}[/mm]
>
> >
> > Bei der zweiten Matrix hat sich ein Vorzeichenfehler
> > eingeschlichen:
> >
> > [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & \blue{-}3 \end{vmatrix}[/mm]
>
> ok, danke. also hab ich als zweite und dritte Matrix:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ -1 & 1-i & -1\\ 1-i & 0 & -3 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix}[/mm]
>
> kann ich jetzt die dritte Gleichung mit i
> durchmultiplizieren und dann minus die erste machen, wäre
> das sinnvoll?
>
Ja, das ist sinnvoll.
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
[mm] \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 1-i & \frac{3}{2}-\frac{5}{2}i \end{vmatrix}
[/mm]
dann würde ich die dritte zeile minus die zweite machen:
[mm] \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 1 & \frac{7}{2}-3i \end{vmatrix}
[/mm]
und jetzt dritte minus (i mal die zweite):
[mm] \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 0 & 4-i \end{vmatrix}
[/mm]
soweit noch richtig?
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 1-i & \frac{3}{2}-\frac{5}{2}i \end{vmatrix}[/mm]
>
Hier muss doch eine "+1" stehen:
[mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & \blue{+}1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix}[/mm]
> dann würde ich die dritte zeile minus die zweite machen:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 1 & \frac{7}{2}-3i \end{vmatrix}[/mm]
>
> und jetzt dritte minus (i mal die zweite):
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 0 & 4-i \end{vmatrix}[/mm]
>
> soweit noch richtig?
>
Nein, letzte Zeilem muß eine Nullzeile sein.
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
> Hallo Myth,
>
> > [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 1-i & \frac{3}{2}-\frac{5}{2}i \end{vmatrix}[/mm]
>
> >
>
>
> Hier muss doch eine "+1" stehen:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & \blue{+}1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix}[/mm]
>
>
Ok, stimmt.
[mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & 1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}[/mm]
Jetzt gehts auf und ich erhalte eine Nullzeile.
Dann habe ich das Gleichungssystem:
[mm]x_{1}-x_{2}-(1-\frac{i}{2})x_{3}=0[/mm]
[mm]-ix_{2}-(2-\frac{i}{2})x_{3}=0[/mm]
[mm] \rightarrow[/mm] [mm]x_{2}=(-\frac{2}{i}+\frac{1}{2})x_{3}[/mm]
Wie gehts jetzt weiter?
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> > Hallo Myth,
> >
> > > [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & -1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 1-i & \frac{3}{2}-\frac{5}{2}i \end{vmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Hier muss doch eine "+1" stehen:
> >
> > [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & \blue{+}1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix}[/mm]
>
> >
> >
>
> Ok, stimmt.
>
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ -i & 1 & -2-\frac{i}{2} \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1+\frac{i}{2}\\ 0 & -i & -2+\frac{i}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}[/mm]
>
> Jetzt gehts auf und ich erhalte eine Nullzeile.
>
> Dann habe ich das Gleichungssystem:
> [mm]x_{1}-x_{2}-(1-\frac{i}{2})x_{3}=0[/mm]
> [mm]-ix_{2}-(2-\frac{i}{2})x_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] [mm]x_{2}=(-\frac{2}{i}+\frac{1}{2})x_{3}[/mm]
>
> Wie gehts jetzt weiter?
>
Setze dies jetzt in die Gleichung
[mm]x_{1}-x_{2}-(1-\frac{i}{2})x_{3}=0[/mm]
ein.
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
[mm] x_{1}-(-\frac{2}{i}+\frac{1}{2})x_{3}-(1-\frac{i}{2})x_{3}=x_{1}+(\frac{5}{2i}+\frac{1}{2})x_{3}
[/mm]
[mm] \rightarrow x_{1}=-(\frac{5}{2i}+\frac{1}{2})x_{3}
[/mm]
Wie gehts weiter, ich steh grad irgendwie aufm Schlauch...
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Hallo Myth,
>
> [mm]x_{1}-(-\frac{2}{i}+\frac{1}{2})x_{3}-(1-\frac{i}{2})x_{3}=x_{1}+(\frac{5}{2i}+\frac{1}{2})x_{3}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow x_{1}=-(\frac{5}{2i}+\frac{1}{2})x_{3}[/mm]
>
Da haben sich ein paar Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Es ist doch:
[mm]x_{1}-(-\frac{2}{i}+\frac{1}{2})x_{3}-(1-\frac{i}{2})x_{3}=0[/mm]
[mm]\gdw x_{1}-(-\frac{2}{i}+\frac{1}{2})x_{3}-(1\blue{+}\frac{1}{2i})x_{3}=0[/mm]
[mm]\gdw x_{1}+(\frac{2}{i}-\frac{1}{2})x_{3}-(1\blue{+}\frac{1}{2i})x_{3}=0[/mm]
[mm]\gdw x_{1}+}\left( \ (\frac{2}{i}-\frac{1}{2})-(1+\frac{1}{2i}) \ \right) x_{3}=0[/mm]
[mm]\gdw x_{1}+}\left( \ \frac{2}{i}-\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2i} \ \right) x_{3}=0[/mm]
> Wie gehts weiter, ich steh grad irgendwie aufm Schlauch...
Jetzt hast Du die Komponenten des Eigenvektors.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ok, also ist
[mm] x_{1}=(\frac{3}{2}-\frac{3}{2i})x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2}=(\frac{1}{2}-\frac{2}{i})x_{3}
[/mm]
aber ich weiß ja jetzt noch nicht was [mm] x_{3} [/mm] ist und bis jetzt kann ich auch [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] nur in abhängigkeit von [mm] x_{3} [/mm] ausdrücken, wie genau sehen jetzt die drei Komponenten meines Eigenvektors aus?
Gruß Myth
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 So 10.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
x3=s oder x3=1
denn jedes vielfache eines EV ist wieder ein EV.
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:32 So 10.06.2012 | | Autor: | Myth |
Alles klar, vielen Dank.
Jetzt noch zur letzten Frage:
Hängt das Ergebnis Ihrer Rechnung davon ab, ob man die Matrix über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] betrachtet?
Ich würde sagen ja, denn zwei von den drei Eigenwerten sind komplex. Wäre die Matrix nicht über [mm] \IC [/mm] definiert, wären das ja auch keine Eigenwerte.
Ist das so gemeint und reicht die Antwort oder ist hier noch mehr verlangt?
Gruß Myth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 12.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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