komplexes differenzieren < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme [mm] X_u [/mm] von [mm] $X(w):=Re\left( \int_{w_0}^w (1-z^2)G(z)\; dz \right)$ [/mm] für $w=u+iv$ und $G$ eine holomorphe Funktion. |
Hallo,
ich würde hier zunächst w durch $u+iv$ ersetzen und dann den Integranden ableiten, also [mm] $\frac{\partial}{\partial u} (1-(u+iv)^2)G(u+iv)=\frac{\partial}{\partial u} (1-u^2-2iuv+v^2)G(u+iv)=(2u-2iv)G(u+iv)+(1-u^2-2iuv+v^2)G_u(u+iv)$
[/mm]
Hm, ich glaube so komme ich nicht weiter, da ich ja jetzt noch integrieren müsste.
Danke für Eure Hilfe!!
Gruß Patrick
|
|
| |
|
Hallo XPatrrickX,
> Bestimme [mm]X_u[/mm] von [mm]X(w):=Re\left( \int_{w_0}^w (1-z^2)G(z)\; dz \right)[/mm]
> für [mm]w=u+iv[/mm] und [mm]G[/mm] eine holomorphe Funktion.
> Hallo,
>
> ich würde hier zunächst w durch [mm]u+iv[/mm] ersetzen und dann den
> Integranden ableiten, also [mm]\frac{\partial}{\partial u} (1-(u+iv)^2)G(u+iv)=\frac{\partial}{\partial u} (1-u^2-2iuv+v^2)G(u+iv)=(2u-2iv)G(u+iv)+(1-u^2-2iuv+v^2)G_u(u+iv)[/mm]
>
> Hm, ich glaube so komme ich nicht weiter, da ich ja jetzt
> noch integrieren müsste.
Nun, da v hier konstant (weil nach u abgeleitet wird),
kannst Du hier den ![[]](/images/popup.gif) Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden.
>
> Danke für Eure Hilfe!!
> Gruß Patrick
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hallo XPatrrickX,
Hallo MathePower
>
> > Bestimme [mm]X_u[/mm] von [mm]X(w):=Re\left( \int_{w_0}^w (1-z^2)G(z)\; dz \right)[/mm]
> > für [mm]w=u+iv[/mm] und [mm]G[/mm] eine holomorphe Funktion.
>
> Nun, da v hier konstant (weil nach u abgeleitet wird),
> kannst Du hier den Mittelwertsatz der Integralrechnung
> anwenden.
>
Also so: (?)
[mm] X(w):=Re\left( \int_{w_0}^w (1-z^2)G(z)\; dz \right)= Re\left( G(\xi) \int_{w_0}^w (1-z^2)\; dz \right) [/mm] = [mm] G(\xi) (z-\frac{1}{3}z^3 |_{w_0}^w [/mm] )= [mm] G(\xi) (w-\frac{1}{3}w-w_0+\frac{1}{3}w_0)
[/mm]
Und jetzt w durch u+iv ersetzen und nach u differenzieren? Aber was mache ich denn überhaupt mit [mm] G(\xi)? [/mm] Kann man das überhaupt so machen oder meintest du was anderes?
Patrick
|
|
|
| |
|
Hallo XPatrickX,
> > Hallo XPatrrickX,
>
> Hallo MathePower
> >
> > > Bestimme [mm]X_u[/mm] von [mm]X(w):=Re\left( \int_{w_0}^w (1-z^2)G(z)\; dz \right)[/mm]
> > > für [mm]w=u+iv[/mm] und [mm]G[/mm] eine holomorphe Funktion.
>
> >
> > Nun, da v hier konstant (weil nach u abgeleitet wird),
> > kannst Du hier den Mittelwertsatz der Integralrechnung
> > anwenden.
> >
>
> Also so: (?)
>
> [mm]X(w):=Re\left( \int_{w_0}^w (1-z^2)G(z)\; dz \right)= Re\left( G(\xi) \int_{w_0}^w (1-z^2)\; dz \right)[/mm]
> = [mm]G(\xi) (z-\frac{1}{3}z^3 |_{w_0}^w[/mm] )= [mm]G(\xi) (w-\frac{1}{3}w-w_0+\frac{1}{3}w_0)[/mm]
>
> Und jetzt w durch u+iv ersetzen und nach u differenzieren?
> Aber was mache ich denn überhaupt mit [mm]G(\xi)?[/mm] Kann man das
> überhaupt so machen oder meintest du was anderes?
Bilde zunächst den Differenzenquotienten:
[mm]\bruch{\delta X}{\delta u}=\bruch{Re\left( \int_{w_0}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)-Re\left( \int_{w_0}^{u+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)}{\left(u+h\right)-u}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{\delta X}{\delta u}=\bruch{Re\left( \int_{u+iv}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)}{\left(u+h\right)-u}[/mm]
Wende jetzt auf den Zähler den Mittelwertsatz der Integralrechnung an.
Und bilde den Grenzwert für [mm]h \rightarrow 0[/mm].
>
> Patrick
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower
>
> Bilde zunächst den Differenzenquotienten:
>
> [mm]\bruch{\delta X}{\delta u}=\bruch{Re\left( \int_{w_0}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)-Re\left( \int_{w_0}^{u+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)}{\left(u+h\right)-u}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\delta X}{\delta u}=\bruch{Re\left( \int_{u+iv}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)}{\left(u+h\right)-u}[/mm]
>
> Wende jetzt auf den Zähler den Mittelwertsatz der
> Integralrechnung an.
> Und bilde den Grenzwert für [mm]h \rightarrow 0[/mm].
>
Tut mir Leid, ich sehe immer noch nicht worauf das hinauslaufen soll.
Wende ich den Mittelwert [mm] \xi [/mm] nur auf meine Funktion G an, oder auf den kompletten Integranten und multpliziere dies dann mit meiner Intervalllänge? Die wäre ja dann genau h, sodass sich dieses kürzen würde.
Aber so wirklich kann ich deinen Ansatz leider nicht weiterführen.
Danke für deine Hilfe!!
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Hallo XPatrickX,
> Hallo MathePower
>
> >
> > Bilde zunächst den Differenzenquotienten:
> >
> > [mm]\bruch{\delta X}{\delta u}=\bruch{Re\left( \int_{w_0}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)-Re\left( \int_{w_0}^{u+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)}{\left(u+h\right)-u}[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw \bruch{\delta X}{\delta u}=\bruch{Re\left( \int_{u+iv}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)}{\left(u+h\right)-u}[/mm]
>
> >
> > Wende jetzt auf den Zähler den Mittelwertsatz der
> > Integralrechnung an.
> > Und bilde den Grenzwert für [mm]h \rightarrow 0[/mm].
> >
>
> Tut mir Leid, ich sehe immer noch nicht worauf das
> hinauslaufen soll.
>
Es gilt doch
[mm]Re\left( \int_{u+iv}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)=Re\left(h*\left(1-\xi^{2}\right)*G}\left(\xi\right)\right)[/mm]
für ein [mm]\xi[/mm] zwischen [mm]u+iv[/mm] unnd [mm]\left(u+h\right)+i v[/mm]
Dies setzen wir jetzt in den Differenzenquotienten ein,
und bilden dann den Grenzwert für [mm] h \rightarrow 0[/mm].
Daraus ergibt sich dann [mm]X_{u}[/mm].
> Wende ich den Mittelwert [mm]\xi[/mm] nur auf meine Funktion G an,
> oder auf den kompletten Integranten und multpliziere dies
> dann mit meiner Intervalllänge? Die wäre ja dann genau h,
> sodass sich dieses kürzen würde.
>
> Aber so wirklich kann ich deinen Ansatz leider nicht
> weiterführen.
>
>
> Danke für deine Hilfe!!
>
> Gruß Patrick
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Also ich habe dann bis jetzt:
[mm] \frac{\partial}{\partial u} [/mm] = [mm] \lim\limits_{h\to 0} \frac{Re\left( \int_{u+iv}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)}{h}
[/mm]
[mm] =\lim_{h\to 0} \frac{Re\left(h*\left(1-\xi^{2}\right)*G\left(\xi\right)\right)}{h}
[/mm]
[mm] =\lim_{h\to 0} Re\left(\left(1-\xi^{2}\right)*G\left(\xi\right)\right)
[/mm]
[mm] =Re\left(\left(1-\xi^{2}\right)*G\left(\xi\right)\right)
[/mm]
Nun ist ja [mm] $\xi \in [/mm] [u+iv, (u+h)+iv]$, dieses konvergiert ja aber mit [mm] $h\to [/mm] 0$ gegen [u+iv, u+iv]. Also ist [mm] \xi=w=u+iv?
[/mm]
Soweit ok?
|
|
|
| |
|
Hallo XPatrickX,
> Also ich habe dann bis jetzt:
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial u}[/mm] = [mm]\lim\limits_{h\to 0} \frac{Re\left( \int_{u+iv}^{\left(u+h\right)+iv}{ (1-z^2)G(z) \ dz }\right)}{h}[/mm]
>
> [mm]=\lim_{h\to 0} \frac{Re\left(h*\left(1-\xi^{2}\right)*G\left(\xi\right)\right)}{h}[/mm]
>
> [mm]=\lim_{h\to 0} Re\left(\left(1-\xi^{2}\right)*G\left(\xi\right)\right)[/mm]
>
> [mm]=Re\left(\left(1-\xi^{2}\right)*G\left(\xi\right)\right)[/mm]
>
>
> Nun ist ja [mm]\xi \in [u+iv, (u+h)+iv][/mm], dieses konvergiert ja
> aber mit [mm]h\to 0[/mm] gegen [u+iv, u+iv]. Also ist [mm]\xi=w=u+iv?[/mm]
>
>
> Soweit ok?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
