kongruentes dreieck < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(4| − 1|0),B(10|5|3) und C(8|1|6).
Bestimmen Sie einen Punkt D ungleich C so, dass [mm] \Delta [/mm] ABC und [mm] \Delta [/mm] ABD kongruent sind. |
ich habe versucht diese aufgabe zu lösen, aber meine lösung stimmt nicht mit der musterlösung überein.
kann jemand mir BITTE helfen, wie ich das machen soll?
danke schön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheLK-Abi07!
Es wäre sowohl für uns als auch für Dich damit sehr hilfreich, wenn Du uns Deine Ideen / Lösungsansätze mitliefern würdest, was Du bisher gemacht hast.
Mein erste spontane Idee wäre, den Punkt $C_$ an der Geraden [mm] $g_{AB} [/mm] \ = \ [mm] \overline{AB}$ [/mm] zu spiegeln.
Gruß
Loddar
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hi Loddar ;)
danke für deine schnell antwort...
ich habs folgendermaßen gemacht(ich glaube, das meinst du auch):
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ 3}
[/mm]
E: 6x + 6y + 3z = 72
6*(4+6t)+6*(-1+6t)+3*(3t) = 72
t = 2/3
F(8/3/2)
[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] + [mm] 2*\overrightarrow{CF} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 5 \\ -2}
[/mm]
aber als musterlösung habe ich zwei mögliche punkte:
D1(6|-1|5); D2(6|3|-3);
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheLK-Abi07!
Du machst bereits einen Fehler bei dem Richtungsvektor der Geraden. Da erhalte ich:
[mm] $g_{AB} [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 0} [/mm] + t [mm] *\vektor{6 \\ 6 \\ \red{3}} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] t^\star *\vektor{2 \\ 2 \\ 1}$
[/mm]
Und auch die Ebenengleichung stimmt dann nicht ...
Gruß
Loddar
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opz...
ich habe mich bei dem richtungsvektor vertippt...
ist das ansonsten richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheLK-Abi07!
Wie oben bereits geschrieben: auch die Ebenengleichung ist nicht richtig.
Prinzipiell sieht der Weg aber in Ordnung aus.
Gruß
Loddar
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g: $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 0} [/mm] $ + t * $ [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ 3} [/mm] $
E: 6x + 6y + 3z = 72
6*(4+6t)+6*(-1+6t)+3*(3t) = 72
t = 2/3
F(8/3/2)
$ [mm] \overrightarrow{OD} [/mm] $ = $ [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] $ + $ [mm] 2\cdot{}\overrightarrow{CF} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{8 \\ 5 \\ -2} [/mm] $
> Hallo MatheLK-Abi07!
>
>
> Wie oben bereits geschrieben: auch die Ebenengleichung ist
> nicht richtig.
>
> Prinzipiell sieht der Weg aber in Ordnung aus.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
hi Loddar,
kannst du mir bitte sagen, was ich da falsch gemacht habe:
ich habe doch folgende ebenengleichung in die koordinatenform umgewandelt:
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{8 \\ 1 \\ 6} [/mm] ) * [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ 3} [/mm] = 0
--> 6x+6y+3z-72=0
vielen dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheLK!
Aber der Richtungsvektor der Geraden ist kein Normalenvektor der Ebene. Diesen Normalenvektor musst Du erst noch bestimmen.
Gruß
Loddar
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ich bin jetzt total verwirrt:(
wieso ist das falsch? wie muss man denn sonst den richtungsvektor bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo matheLK-Abi07,
um deine Verwirrung etwas zu lösen: ich glaube, ihr habt ein bisschen aneinander vorbei geredet.
Deine Ebenengleichung ist richtig, denn du willst eine Ebene senkrecht zu [mm] g_{AB} [/mm] durch C haben.
Loddar will warscheinlich eine Ebene, die [mm] g_{AB} [/mm] enthält und an der du dann dein C spiegeln kannst, um D zu erhalten. Dazu bräuchte man dann noch einen zweiten Vektor in der Ebene, ist aber glaub ich umständlicher als dein Weg.
Im Übrigen ist deine Musterlösung zwar richtig, aber enthält bei weitem nicht alle möglichen Lösungen. Deine Lösung [mm] \vektor{8 \\ 5 \\ -2} [/mm] und D1 und D2 sind die drei einfachsten. Aber wenn du ein bisschen nachdenkst und dir das Dreieck im Raum vorstellst, findest du sicher noch eine ganze Menge mehr Möglichkeiten für die Lage von D.
Ich hoffe, du bist nicht verwirrter als vorher,
Vreni
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hi Vreni,
> Hallo matheLK-Abi07,
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> um deine Verwirrung etwas zu lösen: ich glaube, ihr habt
> ein bisschen aneinander vorbei geredet.
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> Deine Ebenengleichung ist richtig, denn du willst eine
> Ebene senkrecht zu [mm]g_{AB}[/mm] durch C haben.
>
> Loddar will warscheinlich eine Ebene, die [mm]g_{AB}[/mm] enthält
> und an der du dann dein C spiegeln kannst, um D zu
> erhalten. Dazu bräuchte man dann noch einen zweiten Vektor
> in der Ebene, ist aber glaub ich umständlicher als dein
> Weg.
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> Im Übrigen ist deine Musterlösung zwar richtig, aber
> enthält bei weitem nicht alle möglichen Lösungen. Deine
> Lösung [mm]\vektor{8 \\ 5 \\ -2}[/mm] und D1 und D2 sind die drei
> einfachsten. Aber wenn du ein bisschen nachdenkst und dir
> das Dreieck im Raum vorstellst, findest du sicher noch eine
> ganze Menge mehr Möglichkeiten für die Lage von D.
>
> Ich hoffe, du bist nicht verwirrter als vorher,
> Vreni
danke schön. jetzt bin ich wirklich erleichtert.
vielen vielen dank dafür, dass du meine verwirrung gelöst hast... :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Sa 07.04.2007 | | Autor: | riwe |
> F(8/3/2)
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> [mm]\overrightarrow{OD}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OC}[/mm] +
> [mm]2*\overrightarrow{CF}[/mm] = [mm]\vektor{8 \\ 5 \\ -2}[/mm]
das ist der einfachste weg, da du ja nur EINEN punkt C* brauchst, und der punkt C*(8/5/-2) ist richtig
du kannst dich ja leicht davon mit WSW überzeugen, indem du die winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bzw. [mm] \alpha^\star [/mm] und [mm] \beta^\star [/mm] berechnest, die seite AB haben ja beide dreiecke gemeinsam. (notwendig ist es allemal nicht).
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