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Hallo,
ich habe eine Frage Begriff Konjugationsklasse. Bin mir da nämlich unsicher. Also, eine Konjugationsklasse ist ja eine Äquivalenzklasse in der sich Matrizen befinden. Aber bedeutet das auch, dass die Matrizen, die sich in einer Konjugationsklasse befinden immer ähnliche Matrizen sein müssen.
Oder, was habe ich darunter zu verstehen wenn ich alle Konjugationsklassen in [mm] M_2_2(\IF_{3}) [/mm] bestimmen soll?
vielen dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Do 19.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Kurz und schmerzlos:
Ja, die Matrizen einer Konjugationsklasse sind ähnlich zueinander.
LG djmatey
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danke, schon mal für die Antwort!
Aber wieso sind dann in [mm] M_2_2(\IF_{2}) [/mm] laut meinem Skript z.B. folgende drei Matrizen in einer Konjugationsklasse:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Es steht dort, dass man durch nachrechnen leicht sehen könnte, dass zum Beispiel diese drei Matrizen in einer Konjugationsklasse liegen. Bedeutet das dann nicht, dass wenn ich diese Matrizen jeweils mit ein und demselben Vektor multipliziere, in allen drei Fällen derselbe Vektor herauskommen muss, da die Matrizen ja zueinander ähnlich sind und sie dementsprechend dieselbe lineare Abbildung darstellen?!
Bei mir kommt aber in allen drei Fällen etwas anderes heraus? Kann mir da jemand weiterhelfen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Do 19.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast die Def. von ähnlich nicht parat!
Sind A und B Matrizen, so heßen sie ähnlich, fals es iene invertierbare Matrix C gibt mit: A = C^-1BC.
Ahnliche Matrizen stellen keineswegs die selbe Abbildung dar !
FRED
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:51 Do 19.06.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ahnliche Matrizen stellen keineswegs die selbe Abbildung
> dar !
doch. jedoch bezüglich verschiedener basen.
das sollte auch die ursprüngliche frage beantworten: ein und der selbe vektor hat bezüglich verschiedener basen (möglicherweise) verschiedene koordinatendarstellungen.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Do 19.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hi,
ähnliche Matrizen beschreiben zwar dieselbe Abbildung, jedoch bezüglich verschiedener Basen des Vektorraums.
Betrachte das folgende Beispiel:
Die Matrizen
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
sind ähnlich zueinander, denn Du kannst sie mit der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
ineinander überführen.
Die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
beschreibt eine Projektion auf die x-Achse mit anschließender Drehung gegen den Uhrzeigersinn um 90°.
Die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
beschreibt eine Projektion auf die y-Achse mit anschließender Drehung im Uhrzeigersinn um 90°.
Die Überführung der Basen ineinander ist also eine Isometrie, da die Räume ebenfalls so ineinander überführt werden können.
LG djmatey
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ok, danke erstmal!
Muss ich mir alles nochmal durch den Kopf gehen lassen.
Viele Grüße!
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