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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:34 So 25.11.2007 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | sei (G, [mm] \circ [/mm] ) eine gruppe.für alle g,h [mm] \in [/mm] G nennen wir [mm] g^h:=h^-1*g*h [/mm] das zu g unter h konjugierte
element.
1) zeigen sie: R:= [mm] {(g_{1},g_{2})| \exists h \in G mit g_{2}=g_{1}^h } \subset [/mm] G [mm] \times [/mm] G definiert
eine äquivalenzrelation auf G
2)bestimmen sie alle elemente der äquivalenzklasse die das neutrale element enthält
3)beschreiben sie die äquivalenzklassen einer abelschen gruppe |
hallo
also bei eins hab ich wenigstens noch eine vorstellung worum es geht:
man muß zeigen das R reflexiv,symmetrisch und transitiv ist.für h=e(neutrales)ist sie schonmal
reflexiv.symmetrisch ist sie ja auf jedenfall für [mm] g_{1}=g_{2} [/mm] (dann auch trans.)
damit hätte ich zumindest eine äquivalenzrelation mit einelementigen Ä-klassen.
das ist aber nicht gemeint nehme ich an?
meine erste frage wäre im grunde genommen:bedeutet 1) das es für alle [mm] g_{1},g_{2} [/mm] ein h gibt oder nur:die g für die es ein solches h gibt stehen in relation?
an und für sich dachte ich letzteres ist unter einer relation zu verstehen,dann wüßte ich allerdings keine lösung außer der oben genannten
bei 2) weiß ich nicht wie ich mir das neutrale element vorzustellen hab,da in den Ä-klassen ja nur "g´s" sind die verknüpfung ja aber zwischen g und h ist, bzw. die def. von e die ich kenne ist
e [mm] \circ [/mm] a =a,ich kann das hier nicht in bezug bringen da die h´s ja irgendwie "außen vorstehen"
bei 3 hab ich überhaupt keinen ansatz
bin für jede hilfe ausgesprochen dankbar
gruß lenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 So 25.11.2007 | | Autor: | komduck |
Zwei Elemente stehen in Relation, wenn es ein h gibt, sodaß, wenn man das eine konjugiert (mit h), dann erhält man das andere.
zu 2)
Über G wissen wir eigentlich nichts. Wir wissen nur G einthält ein neutrales element e.
Es gibt also 3 Möglichkeiten:
a) die gesuchte Menge enthält nur das neutrale Element
b) die gesuchte Menge enthält alle Element aus G
c) Das kann man nicht wissen, weil es von der Art der Gruppe abhängt.
zu 3)
in diesem Fall hat men einen einfachen Fall von Äquvalentzrelation.
Es gibt zwei einfache Äquivalenzrelationen:
a) Alle stehen in Relation
b) Niemand steht in Relation
Welchen der beiden Fälle haben wir?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 25.11.2007 | | Autor: | lenz |
hallo, danke schonmal für die antwort
nochmal zu 3)
es gibt ja den fall wie du sagtest alle stehen in relation,dann jedes steht
nur in relation zu sich,dann müßte es ja noch den fall geben a~b wenn b=a^-1 z.b
dann hätten wir 2 elementige Ä-klassen und irgendwie stell ich mir so vor das es noch ziemlich viele
andere relationen gibt halt abhängig davon wie man die relation definiert
gruß lenz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 25.11.2007 | | Autor: | komduck |
Sorry niemand steht in Relation ist natürlich unfug, weil die Relation ja Reflexsiv ist.
Ich meinte jeder steht nur mit sich seblst in Relation. Und das ist genau der Fall
der bei kommutativen Gruppen auftritt.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 25.11.2007 | | Autor: | Breece |
Ich hänge mich mal an die Fragestellung an und habe einen Lösungsansatz für (i) (obwohl ich ja eher befürchte, dass er nicht ganz korrekt ist ;))
Zu (i)
Der [mm] \cdot{} [/mm] bezeichnet hier nicht die übliche Multiplikation, sondern eine reine Verknüpfung, oder?
In einer Gruppe gilt per Definition
a,b [mm] \in [/mm] G
für eindeutiges x [mm] \in [/mm] G
a [mm] \cdot{} [/mm] x=b
für eindeutiges y [mm] \in [/mm] G
y [mm] \cdot{} [/mm] a=b
Das habe ich darauf übertragen und dann zuerst die Reflexivität überprüft.
g1= [mm] h^{-1}\cdot{}g1\cdot{}h [/mm]
Habe ich das schonmal richtig aufgestellt? g1 in relation zu sich selbst?
Dann forme ich g1 um, denn
g1=a [mm] \cdot{} [/mm] g2
g2=g1 [mm] \cdot{} [/mm] b
a [mm] \cdot{} g2=h^{-1}\cdot{}g1\cdot{}h
[/mm]
a [mm] \cdot{} [/mm] g1 [mm] \cdot{} b=h^{-1}\cdot{}g1\cdot{}
[/mm]
Sei [mm] a=h^{-1} [/mm] und b=h. Das darf ich weil, a und b aus dem selben Definitionsbereich kommen wie h und [mm] h^{-1}.
[/mm]
Ist das so korrekt?
zu (ii)
Hier bin ich auch auf die Lösung gekommen, dass nur das neutrale Element in der Äquivalenzklasse ist. Aber wie kommt man darauf, dass auch alle Elemente drin sein können?
zu (iii)
Hier haben wir doch den Fall, dass alle in Relation stehen (in Bezug genommen auf (ii) )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 25.11.2007 | | Autor: | lenz |
hi breece
könntest du mir vielleicht erklären wie das neutrale
überhaupt aussehen soll.ich weiß wie gesagt gar nicht was ich mir darunter
vorzustellen hab,weil e [mm] \circ [/mm] a
ja a sein soll,bei dieser verknüpfung gibt es ja gar kein a,bzw h^-1 [mm] \circ [/mm] e [mm] \circ [/mm] h=(h^-1 [mm] \circ [/mm] e) [mm] \circ [/mm] h
=h^-1 [mm] \circ [/mm] h =e
lenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 So 25.11.2007 | | Autor: | Breece |
Also was e genau ist können wir nicht bestimmen, da die Gruppe nicht näher definiert / angegeben ist.
e o a=a ist in diesem Fall dann wohl e o g1=g1 also die reflexive Relation von g1 zu sich selbst.
[mm] g1=h^{-1}\cdot{}g1\cdot{}h
[/mm]
Die "g's" sind hier die Variablen die man so einsetzen kann und das h übernimmt dann wohl die Rolle des neutralen Elements.
[mm] g1=e^{-1}\cdot{}g1\cdot{}e
[/mm]
g1=g1
Ich habe das hier absichtlich nicht als Antwort deklariert, also keine Gewähr sondern eine Überlegung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 So 25.11.2007 | | Autor: | lenz |
sowas hat ich mir auch gedacht nur das die h´s ja nicht zur relation(die relation
besteht ja zwischen g1 und g2 nicht zwischen g und h weenn ich mich nicht irre)
gehören,damit für die Ä-klassen uninterressant sind
lenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 So 25.11.2007 | | Autor: | Breece |
Naja sieh es doch so:
Deine Relation g1 ~ g2 heißt doch
g1 o g2 := [mm] g2=h^{-1}\cdot{}g1\cdot{}h
[/mm]
Nun soll da aber nicht g2 rauskommen sondern g1 (denn g1 o e = g1)
[mm] g1=h^{-1}\cdot{}g1\cdot{}h
[/mm]
Und da suchen wir dann das neutrale Element. Bzw. anders ausgedrückt wo kann ich da nur ansetzen um diese Gleichung stimmen zu lassen. Da bleibt ja nur das "h"
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Hallo!
Zu i:
Ich verstehe gerade gar nix mehr. Wenn ihr der Meinung seid, dass h^-1 * h das neutrale Element darstellt, das kann ich ja noch nachvollziehen. Aber ich verstehe nicht, wie a*g1*b=h^-1*g1 mit a=h^-1 und b=h, das würde ja bedeuten, dass g1=h^-1*g1 ist, was ein Widersruch wäre. Jetzt bin ich total verwirrt, warum das ein Beweis für ii wein soll!
zu ii:
Warum können es denn jetzt auch alle sein? Wenn man h^-1 * h als e definiert, kann es doch nur das neturale Element selbst sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anne-Katrin!
> zu ii:
> Warum können es denn jetzt auch alle sein? Wenn man h^-1 *
> h als e definiert, kann es doch nur das neturale Element
> selbst sein, oder?
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo lenz!
> könntest du mir vielleicht erklären wie das neutrale
> überhaupt aussehen soll.ich weiß wie gesagt gar nicht was
> ich mir darunter
> vorzustellen hab,weil e [mm]\circ[/mm] a
> ja a sein soll,bei dieser verknüpfung gibt es ja gar kein
> a,bzw h^-1 [mm]\circ[/mm] e [mm]\circ[/mm] h=(h^-1 [mm]\circ[/mm] e) [mm]\circ[/mm] h =h^-1 [mm]\circ[/mm] h =e
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich glaube, du hast nur etwas Probleme, dir die einzelnen Objekte richtig vorzustellen.
Gegeben ein g. Welches ist die zugehörige Äquivalenzklasse? Diese Menge besteht aus allen [mm]g_i[/mm], für die es irgendein Element h der Gruppe gibt, sodass [mm]g_i = h^{-1} \circ g \circ h[/mm]. Ohne genauere Kenntnis der Gruppe kann man nur in einigen Spezialfällen mehr sagen, zum Beispiel im Fall e:
Die Äquivalenzklasse, der e angehört, enthält also alle Elemente [mm]\{g_i\mid \exists h: g_i = h^{-1} \circ g \circ h\}[/mm]. Wie du ausgerechnet hast, folgt daraus [mm]g_i=e[/mm], also besteht diese Äquivalenzklasse nur aus einem Element: [mm]\{e\}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 So 25.11.2007 | | Autor: | komduck |
Hier habe ich mich etwas falsch ausgedrückt. Ich meinte ohne uns die
Relation anzuschauen ergeben sich die drei Fälle.
Ich wollte nicht gleich die Lösung sagen. Richtig ist nur a)
Wenn man das neutrale Element konjugiert dann bekommt man
immer das neutrale Element.
komduck
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Breece!
> Ich hänge mich mal an die Fragestellung an und habe einen
> Lösungsansatz für (i) (obwohl ich ja eher befürchte, dass
> er nicht ganz korrekt ist ;))
>
> Zu (i)
> Der [mm]\cdot{}[/mm] bezeichnet hier nicht die übliche
> Multiplikation, sondern eine reine Verknüpfung, oder?
> In einer Gruppe gilt per Definition
>
> a,b [mm]\in[/mm] G
> für eindeutiges x [mm]\in[/mm] G
> a [mm]\cdot{}[/mm] x=b
> für eindeutiges y [mm]\in[/mm] G
> y [mm]\cdot{}[/mm] a=b
>
> Das habe ich darauf übertragen und dann zuerst die
> Reflexivität überprüft.
>
> g1= [mm]h^{-1}\cdot{}g1\cdot{}h[/mm]
> Habe ich das schonmal richtig aufgestellt? g1 in relation
> zu sich selbst?
Die Relation [mm]g_1 \sim g_2 [/mm] bedeutet: es gibt ein [mm]h\in G[/mm], sodass [mm]g_2 = h^{-1}\circ g_1 \circ h[/mm] ist.
Reflexivität heisst dann: es gibt ein [mm]h\in G[/mm], sodass [mm]g_1 = h^{-1}\circ g_1 \circ h[/mm] ist.
Soweit OK.
> Dann forme ich g1 um, denn
> g1=a [mm]\cdot{}[/mm] g2
> g2=g1 [mm]\cdot{}[/mm] b
Woher kommt jetzt plötzlich wieder das g2?
Du hast: [mm]g_1 = h^{-1}\circ g_1 \circ h[/mm]. Wenn du ein passendes h angeben kannst, bist du fertig. Am besten nimmst du das von links mit h mal.
> Hier bin ich auch auf die Lösung gekommen, dass nur das
> neutrale Element in der Äquivalenzklasse ist.
> zu (iii)
> Hier haben wir doch den Fall, dass alle in Relation stehen
> (in Bezug genommen auf (ii) )
Das ist aber meistens ein Widerspruch zu (ii). Das neutrale Element ist allein in seiner Äquivalenzklasse. Wenn alle in Relation stehen, haben wir nur eine Äquivalenzklasse. Folglich besteht die Gruppe nur aus dem neutralen Element.
Viele Grüße
Rainer
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