konservative Kraft < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 So 08.08.2010 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | 1)Es ex. U(r) mit dU(r)/dt=-Fv
2)Es ex. U(r) mit F=-gradU(r)
3) rotF=0
4)Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit
5)Arbeit ist unabhängig von Weg |
An der Vorlesung haben wir diese 5 Aussagen kennengelernt, die äquivalent für rein ortsabhängigen konservativen Kräfte sind (mit r, v, F meine ich die Vektoren). Jetzt versuche ich zu erkennen, welche allgemein für konservative Kräfte gelten, und welche nicht.
Also
1) gilt (weil das die Definition von eine kons. Kraft ist)
2) gilt nicht
4) gilt
5) gilt
3) Hier habe ich ein Problem. Ich rechne nun (A,r Vektoren, # Kreuzprodukt):
rot(-gradU(r)+v#A(r,t)) = A(divv)-v(divA)+(vgrad)A-(Agrad)v
Und die Fragen:
Kann Nabla einfach in die Zeitableitung "dringen" (dann divv=0)? Gilt das selbe bei dyadischer Verknüpfung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 So 08.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zunaechst ein kleiner Hinweis: Versuche doch naechste mal, den Formeleditor zu benutzen, hier gibt es eine kleine Anleitung dazu.
> 1)Es ex. U(r) mit dU(r)/dt=-Fv
> 2)Es ex. U(r) mit F=-gradU(r)
> 3) rotF=0
> 4)Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen
> Weg keine Arbeit
> 5)Arbeit ist unabhängig von Weg
> An der Vorlesung haben wir diese 5 Aussagen kennengelernt,
> die äquivalent für rein ortsabhängigen konservativen
> Kräfte sind (mit r, v, F meine ich die Vektoren).
Das sind also die aequivalenten Aussagen, die sagen, wann eine Kraft konservativ ist.
> Jetzt
> versuche ich zu erkennen, welche allgemein für
> konservative Kräfte gelten, und welche nicht.
> Also
> 1) gilt (weil das die Definition von eine kons. Kraft ist)
Das kommt nun drauf an, was man als 'Defintion' annimmt. Wenn ihr das so definiert habt, ists ok.
Was aber verstehst du nun unter einer 'allgemeinen konservativen Kraft'?
> 2) gilt nicht
Warum sollte das nicht gelten? Wenn [mm] $\nabla \times \vec{F} [/mm] = 0$ gilt, was die Bedingung dafuer ist (im [mm] $\mathbbm{R}^3$, [/mm] dass es ein Potential gibt, sonst: [mm] $\frac{\partial F_i}{\partial r_j} [/mm] = [mm] \frac{\partial F_j}{\partial r_i}$, [/mm] dann folgt aus [mm] $\nabla \times \vec{F}$, [/mm] dass sich [mm] $\vec{F}$ [/mm] als [mm] $\vec{F} [/mm] = [mm] -\nabla U(\vec{r})$ [/mm] schreiben laesst.
> 4) gilt
> 5) gilt
Warum rechnest du das?
Du sagst doch: Sei [mm] $\vec{F} [/mm] = [mm] -\nabla U(\vec{r})$. [/mm] Folgt dann daraus [mm] $\nabla \times \vec{F} [/mm] = - [mm] \nabla \times (\nabla U(\vec{r})$? [/mm] Die Antwort ist ja.
Bei den anderen Fragen verstehe ich leider nicht, was du meinst. Koenntest du das noch ein bisschen klarer Formulieren?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 08.08.2010 | | Autor: | waruna |
Ich nehme an, dass 1) ist eine Definition von konservative Kraft. Dann im Allgemeinen sieht die konservative Kraft so aus:
F = -gradU(r)+v#A(r,t)
ist also nicht rein ortsabhängig.
Obige 5 Aussagen gelten nur für rein ortsabh. Kraft.
Ich überlege nun, was passiert wenn A ungleich Null ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 08.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn man eine zeitabhaengige Kraft hat, dann kann die Energie im Allgemeinen nicht mehr wegunabhaengig sein, denn wenn man einen anderen Weg waehlt, dann wird das in unterschiedlichen Zeiten geschehen. Der eine Weg dauert etwas laenger als der andere. D.h. die Energie, die als Integral ueber den Weg $W = [mm] \int \vec{F} \,\mathrm{d}\vec{r}$ [/mm] definiert ist, wird dann auch Zeitabhaengig sein, und damit vom Weg abhaengig, was im Widerspruch zu der Aussage steht, dass die Energie wegunabhaengig ist.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 So 08.08.2010 | | Autor: | waruna |
Hmmm, das heisst also, dass 4) und 5) gelten nicht für jede konservative Kraft, was ganz verwirrend ist, weil sehr oft man 4) als Def. von konservative Kraft nutzt...
Na ja, aber Physiker sind manchmal nicht sehr ordentlich :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 So 08.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
soweit ich weiss, nimmt man immer an, dass man keine explizite Zeitabhaengigkeit in der Kraft hat, was man ja in deinem Fall hat.
Und selbst wenn $A=A(r)$ waere, duerfte die Rotation von F eigentlich i.A. nicht verschwinden.
Die Def. von 'Konservativ' sagt also, soweit ich sie kenne, schon aus, dass [mm] $F=F(\vec{r})$ [/mm] und dass es also insbesondere unabhaengig von der Zeit ist.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 Mo 09.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich nehme an, dass 1) ist eine Definition von konservative
> Kraft. Dann im Allgemeinen sieht die konservative Kraft so
> aus:
> F = -gradU(r)+v#A(r,t)
> ist also nicht rein ortsabhängig.
Du hast recht, dass durch die Aussage (1) die Kraft nur bis auf einen solchen Summanden [mm] $\vec{v}\times \vec{A}(\vec{r},t)$ [/mm] bestimmt ist. Aber (1) ist nicht die Definition einer konservativen Kraft, sondern (4) oder (5). Dies ist äquivalent zu (2) und (3), und aus (2) folgt (1) mit der Kettenregel, da für ein zeitunabhängiges [mm] $U(\vec{r})$ [/mm] gilt:
[mm] \bruch{dU(\vec{r})}{dt} = (\mathop{\mathrm{grad}}U(\vec{r})) * \bruch{d\vec{r}}{dt} [/mm] .
Insofern ist (1) nur dann äquivalent zu (2)-(5), wenn man voraussetzt, dass die Kraft nur vom Ort abhängt.
(Übrigens sind auch (2) und (3) nur auf zusammenhängenden Gebieten äquivalent; zum Beispiel ist
[mm] \vec{F} = \bruch{1}{x^2+y^2} \vektor{-y\\x\\0} [/mm]
nicht konservativ, obwohl [mm] $\mathop{\mathrm{rot}} \vec{F}=0 [/mm] $ überall, wo es definiert ist, nämlich für [mm] $(x,y)\not=(0,0)$. [/mm] Aber da es auf der z-Achse nicht definiert ist, kann man aus [mm] $\mathop{\mathrm{rot}} \vec{F}=0 [/mm] $ nicht folgern, dass es sich um ein Gradientenfeld [mm] $\vec{F} [/mm] = - [mm] \mathop{\mathrm{grad}} [/mm] U$ handelt.)
Viele Grüße
Rainer
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