konstant längs eines weges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Eumel09 |
| Aufgabe | Sei h: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] eine Abbildung und sei f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] differenzierbar mit
f´(x) =h(x)*x. Zeigen sie, dass sich f in der Form f(x) = [mm] \overline{f} (\parallel [/mm] x [mm] \parallel_2) [/mm] mit einer geeigneten Funktion [mm] \overline{f}: \IR \to \IR [/mm] schreiben lässt. hinweis: Zeigen Sie, dass f für festes r > 0 längs eines Weges auf der Kugeloberfläche vom Radius r konstant ist. |
Hallo erstmal,
hab mit der Aufgabe einige Probleme. Was bedeutet den längs eines Weges konstant. Was genau muss ich da zeigen? Wann eine Funktion konstant ist, ist mir bekannt. f ist konstant, wenn der Definitionsbereich wegzusammenhängend, f differenzierbar ist und f´(x) = 0 gilt. Aber mit dem "längs eines Weges" komme ich nicht zurecht.
Und wenn ich das gezeigt habe, wie hilft mir das bei der Aufgabe weiter?
gruß eumel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Di 13.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo eumel!
> Sei h: [mm]\IR^n \to \IR[/mm] eine Abbildung und sei f: [mm]\IR^n \to \IR[/mm]
> differenzierbar mit
> f´(x) =h(x)*x. Zeigen sie, dass sich f in der Form f(x) =
> [mm]\overline{f} (\parallel[/mm] x [mm]\parallel_2)[/mm] mit einer
> geeigneten Funktion [mm]\overline{f}: \IR \to \IR[/mm] schreiben
> lässt. hinweis: Zeigen Sie, dass f für festes r > 0 längs
> eines Weges auf der Kugeloberfläche vom Radius r konstant
> ist.
> Hallo erstmal,
>
> hab mit der Aufgabe einige Probleme. Was bedeutet den längs
> eines Weges konstant. Was genau muss ich da zeigen? Wann
> eine Funktion konstant ist, ist mir bekannt. f ist
> konstant, wenn der Definitionsbereich wegzusammenhängend, f
> differenzierbar ist und f´(x) = 0 gilt. Aber mit dem
> "längs eines Weges" komme ich nicht zurecht.
Ist [mm] $\gamma [/mm] : [a, b] [mm] \to \IR^n$ [/mm] ein Weg, so ist $f : [mm] \IR^n \to \IR$ [/mm] entlag [mm] $\gamma$ [/mm] konstant, wenn die Funktion $f [mm] \circ \gamma [/mm] : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] konstant ist.
> Und wenn ich das gezeigt habe, wie hilft mir das bei der
> Aufgabe weiter?
Die Kugeloberflaeche im [mm] $\IR^n$ [/mm] mit Radius $r$ ist wegzusammenhaengend. Was folgt daraus zusammen damit, das $f$ entlang Wegen [mm] $\gamma$ [/mm] mit konstanten Radius $r$ (d.h. [mm] $\|\gamma(t)\|_2 [/mm] = r$ fuer alle $t$) konstant ist?
(Uebrigens: es reicht voellig wenn du dich auf differenzierbare Wege beschraenkst! Ansonsten wird das etwas ekelig, und bei der Kugeloberflaeche kannst du auch je zwei Punkte durch einen differenzierbaren Weg verbinden.)
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:01 Di 13.06.2006 | | Autor: | Eumel09 |
Hallo felixf, erstmal dankeschön für deine Hilfe. Hab allerdings noch ein paar Fragen:
> Ist [mm]\gamma : [a, b] \to \IR^n[/mm] ein Weg, so ist [mm]f : \IR^n \to \IR[/mm]
> entlag [mm]\gamma[/mm] konstant, wenn die Funktion [mm]f \circ \gamma : [a, b] \to \IR[/mm]
> konstant ist.
Wie zeige ich nun, dass f [mm] \circ \gamma [/mm] konstant ist. Das f [mm] \circ \gamma [/mm] difererenzierbar ist, habe ich geschafft zu zeigen. Aber wie zeigt man, das [a,b] wegzusammenhängend ist. das scheint mir zwar logisch, da a und b auf der Kugeloberfläche liegen und ich diese beiden Punkte immer verbinden kann. Aber wie zeigt man sowas? Und (f [mm] \circ \gamma) [/mm] ´ = 0 ist, dazu habe ich überhaupt keine Idee.
>
> Die Kugeloberflaeche im [mm]\IR^n[/mm] mit Radius [mm]r[/mm] ist
> wegzusammenhaengend. Was folgt daraus zusammen damit, das [mm]f[/mm]
> entlang Wegen [mm]\gamma[/mm] mit konstanten Radius [mm]r[/mm] (d.h.
> [mm]\|\gamma(t)\|_2 = r[/mm] fuer alle [mm]t[/mm]) konstant ist?
Wie kommst du darauf, dass [mm]\|\gamma(t)\|_2 = r[/mm] ?
Und ehrlich gesagt sehe ich auch nicht, wie mir das weiter hilft.
> LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 15.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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