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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - konstante Momente?
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konstante Momente?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Sa 11.09.2010
Autor: moeff

Hallo,
gibt es Zufallsvariablen [mm]X[/mm], für deren Momente gilt
[mm]E(X^k) = \bruch{1}{2}.[/mm]
Wie wäre diese Zufallsvariable [mm]X[/mm] verteilt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
konstante Momente?: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Sa 11.09.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  gibt es Zufallsvariablen [mm]X[/mm], für deren Momente gilt
>  [mm]E(X^k) = \bruch{1}{2}.[/mm]
>  Wie wäre diese Zufallsvariable [mm]X[/mm]
> verteilt?


Hallo moeff,

schau dir mal an, was dir die

    []charakteristische Funktion

zu dieser Frage bieten kann !

LG    Al-Chw.

Bezug
                
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konstante Momente?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Sa 11.09.2010
Autor: moeff

Danke für den Tipp!

Ok, mir ist jetzt klar, dass die Momente durch die Ableitungen der charakteristischen Funktion erzeugt werden, also
[mm]E(X^k) = \bruch{\Psi_X^{(k)}(0)}{i^k}.[/mm]

Also muss ich eine charakteristische Funktion derart basteln, dass die k-te Ableitung jeweils [mm]\bruch{i^k}{2}[/mm] ergibt?

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konstante Momente?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Sa 11.09.2010
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo moeff,

ich meine, dass jetzt die charakteristische Funktion so
aussehen müsste:

     [mm] $\varphi_X(t)\ [/mm] =\ [mm] 1+\frac{1}{2}\ i\,t-\frac{1}{4}\ t^2-\frac{1}{12}\ i\,t^3+\frac{1}{48}\ t^4+\frac{1}{240}\ i\,t^5\ [/mm] .......$

Wie man nun genau eine Darstellung für die Verteilung
selbst gewinnt, ist mir allerdings auch nicht klar.


LG      Al-Chwarizmi

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konstante Momente?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 Sa 11.09.2010
Autor: luis52

Moin moeff,

[willkommenmr]

Nimm an, dass $X_$ Bernoulli-verteilt ist ...

vg Luis

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konstante Momente?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:19 So 12.09.2010
Autor: moeff

Vielen Dank,  habs inzwischen nachgelesen. Ich muss zugeben, dass ich wohl nicht darauf gekommen wäre, mir die charakteristischen bzw. momenterzeugenden Funktionen von diskreten Verteilungen anzusehen...

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Bezug
konstante Momente?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:48 So 12.09.2010
Autor: felixf

Moin!

> Hallo,
>  gibt es Zufallsvariablen [mm]X[/mm], für deren Momente gilt
>  [mm]E(X^k) = \bruch{1}{2}.[/mm]

Du hast hier sicher $k > 0$ vergessen, ansonsten hat man sofort einen Widerspruch: $1/2 = [mm] E(X^0) [/mm] = E(1) = 1$.

>  Wie wäre diese Zufallsvariable [mm]X[/mm]
> verteilt?

Mit Hilfe der Exponentialreihe bekommt man, dass die char. Funktion gleich [mm] $\frac{1}{2} e^{i t} [/mm] + [mm] \tfrac{1}{2}$ [/mm] ist (die $1/2$ addiert man damit die char. Funktion bei 0 gleich 1 ist -- das muss bei char. Funktionen immer so sein).

Wenn man in eine Tabelle schaut, wie etwa []hier, sieht man schnell dass es eine Binomialverteilung $B(1, [mm] \tfrac{1}{2})$ [/mm] sein muss -- also eine Bernoulliverteilung!

Es reicht also aus, die Exponentialreihe zu erkennen und in eine Tabelle zu gucken ;-)

LG Felix



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