konstante Verteilung < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bei der Aufzucht von Rindern unterscheidet man zwischen Neugeborenen (N), einjährigen Kälbern (K) und geschlechtsreifen erwachsenen Tieren (E), den Kühen und Bullen (mindestens zweijährig). Um eine Rinderherde wirtschaftlich erfolgreich zu betreiben, muss man Kenntnisse über die Anzahl der Geburten, der Todesfälle und der Entnahmen durch Schlachtung oder Verkauf haben. Zudem muss die Verteilung der Herde in den drei Altersstufen (N, K, E) bekannt sein.
In der hier betrachteten Rinderherde werden die Übergänge zwischen den Altersstufen innerhalb eines Jahres durch die folgende Matrix A angegeben:
[mm] $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0,4 \\
0,75 & 0 & 0 \\
0 & 0,8 & 0,8
\end{pmatrix}
[/mm]
c) Der Züchter sucht eine Strategie, durch den Verkauf von Kälbern in die Entwicklung der Herde so einzugreifen, dass eine konstante Verteilung der Tiere in der Rinderherde gewährleistet ist.
[i]Ermitteln Sie dazu den Anteil der Kälber, die jedes Jahr zusätzlich verkauft werden sollen.
Bestimmen Sie dazu eine passende Anfangsverteilung. |
Hallo zusammen,
heute haben wir im Mathe-LK diese Aufgabe in einer Klausur lösen sollen.
Nachdem wir die Klausur beendet hatten, reflektierten zwei Kollegen von mir und ich über diese Aufgabe, dabei stellte sich heraus, dass jeder einen anderen Ansatz und eine andere Lösung dafür hatten, allerdings erschienen mir alle logisch.
Mein eigener Weg:
zunächst sei gesagt, dass die Matrix sowohl in der Zeile als auch in der Spalte die Reihenfolge N, K, E hat, ich wusste nur nicht, wie ich das eingeben sollte.
Nun dachte ich mir, das ganze soll eine Art stationäre Verteilung sein, sodass [mm] $A*\vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] x$.
Allerdings wird an der Anzahl der Kälber, die sich eigentlich zu erwachsenen Tieren entwickeln sollten, etwas verändert, sodass die ursprüngliche Matrix A nun eine Variable beinhaltet, sodass
[mm]\begin{pmatrix}0 & 0 & 0,4 \\
0,75 & 0 & 0 \\
0 & a & 0,8
\end{pmatrix} * \vec x = \vec x[/mm].
Nach ein bisschen Rechnerei komme ich nun zu dem Ergebnis, dass
$a = [mm] \bruch{2}{3}$.
[/mm]
Die Anfangsverteilung kann ich ja eh nur in Abhängigkeit zu einer Variablen ausdrücken, sodass diese derzeit irrelevant ist.
Jedenfalls entspricht der zusätzlich benötigte Verkauf $0,8 - a = [mm] \bruch{2}{15}$.
[/mm]
Das war so mein Weg.
Einer der Kollegen hatte einen ähnlichen Ansatz, jedoch sagte er, dass die Neugeborenen, die nach einem Jahr zu Kälbern werden, variabel sein müssen.
Also hatte er
[mm]\begin{pmatrix}0 & 0 & 0,4 \\
0,75 - a & 0 & 0 \\
0 & 0,8 & 0,8
\end{pmatrix} * \vec x = \vec x[/mm].
Dann kam er darauf, dass 12,5% mehr Kälber verkauft werden müssen, was ja mit meinen 13,33% schonmal nicht übereinstimmt.
Der andere hatte einen ausgesprochen simplen Weg:
Er meinte, man habe ja 4 Variablen in 3 Gleichungen, also kann man z.B. die für die Neugeborenen einfach bestimmen, sodass z.B. [mm] $x_1 [/mm] = 100$.
Damit kann man auf die Erwachsenen Tiere schließen, die benötigt werden, um jährlich diese 100 Neugeborenen zu zeugen. Daraus wiederum kann man die Anzahl der Kälber folgern, die gebraucht werden um zu dieser Anzahl der Erwachsenen heranzuwachsen.
Nun müsse man einfach nur so viele Kälber abziehen, dass man exakt auf diese Anzahl kommt.
Welche dieser Wege sind nun fehlerhaft und warum?
Danke fürs Lesen dieses langen Textes und für Antworten,
Gruß, Melvissimo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
die 0.75 für die Neugeborenen, die zu Kälbern werden schließen ja sämtliche Verluste über das ganze Jahr mit ein (ebenso für die anderen Übergänge). Wenn wir Kälber verkaufen wollen, können wir davon ausgehen, daß das Jahr (und damit seine Verluste) schon weitestgehend vorüber sind.
Durch den Verkauf wird effektiv eine weitere Verluststufe eingefügt und genauso muß man es behandeln.
Nehmen wir mal den letzten Weg, aber mit Faktor 10, daß immer ganze Viecher rauskommen:
1000 Neugeborene, davon bleiben 750 nach einem Jahr über und von den 750 überleben 600 das zweite Jahr. Wir brauchen für eine stabile Population aber nur 500, wenn wir von 2500 erwachsenen Tieren ausgehen.
Können wir von den 750 also einfach 100 verkaufen? Nein, 650*0.8=520. Weil ein Teil der 150 Verluste, die wir erlitten hätten, ja Tiere gewesen wären, die wir jetzt verkauft haben, also haben wir immer noch zu viel.
Verkaufen wir von den 750 aber 125, dann bleiben 625, 625*0.8=500. Paßt.
Jetzt wird's vertrackt.
a) Die 12.5% stimmen nicht, weil es nicht der Anteil der Kälber ist, die verkauft werden sollen. (125/750=16 2/3)
b) Deine 13.33% stimmen nicht, weil Du Anteile addierst statt zu multiplizieren. Von 750 Kälbern wird der Anteil x verkauft und vom Rest überlebt der Anteil 0.8 das Jahr, es sollen 500 Tiere sein:
750*(1-x)=nichtverkaufte
nichtverkaufte*0,8=500
Der richtige Ansatz wäre also 750*(1-x)*0,8=500 gewesen. Damit kommt man auch auf x=16 2/3
Oder ohne Zahlen: Deine 2/3 stimmen, aber gesucht ist (1-x)*0,8= 2/3
c) Der letzte Weg stimmt, wenn er auf die richtigen Zahlen kam: 125/750=16 2/3
a2) Der erste würde stimmen, wenn man die Prozentangaben umrechnet:
Vgl. 1000*0,75*(1-x)*0,8 = 1000*(0,75-0,75*x)*0,8
mit 1000*(0,75-a)*0,8
12,5/0,75=16 2/3
und ebenso Deiner:
1000*0,75*(1-x)*0,8 = 1000*0,75*(0,8-0,8x)
mit 1000*0,75*(0,8- 2/15)
2/15 / 0,8 = 16 2/3
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Melvissimo |
uff, das ist aber ganz schön viel und ganz schön verwirrend :D
Danke erst einmal für deine antwort, ich werde mich mal durcharbeiten und bei Bedarf nachfragen.
Gruß, Melvissimo
|
|
|
|
