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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mo 12.06.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | Sei U eine offeine Teilmenge im [mm] \IR^n, [/mm] in der sich je zwei Punkte durch einen Streckenzug verbinden lassen. Damist ist folgendes gemeint: Für je zwei Punkte [mm] a,b\in [/mm] U gibt es endlich viele Punkte [mm] p_0 [/mm] := a, [mm] p_1,...,p_{N-1},p_N [/mm] := b, so dass die endlichen Strecken [mm] [p_{k-1},p_k] (1\le k\le [/mm] N) in U liegen. Sei [mm] f:U\to\IR^m [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit D f(x) = 0 für alle [mm] x\in [/mm] U. Zeigen Sie: f ist konstant |
(Frage zuvor nicht gestellt)
hey leute, versuch mich gerade an der aufgabe: kann einer gucken, ob der ansatz so ok ist und wie ich vielleiht weiter machen kann.
Da f differnenzierbar ist, lässt sich f folgendermaßen in einer umgebung [mm] \psi
[/mm]
approximieren:
[mm] f(x+\psi)=f(x)+Df(x)*\psi+\phi(\psi) [/mm] für [mm] \lim_{psi\to0}\bruch{\phi(\psi)}{||\psi||}=0
[/mm]
da D f(x)=0
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] f(x+\psi)=f(x) [/mm] + [mm] \phi(\psi) [/mm] für [mm] \lim_{psi\to0}\bruch{\phi(\psi)}{||\psi||}=0
[/mm]
hier stockt auch schon.. ich müsste jetzt zeigen, f(x) + [mm] \phi(\psi) [/mm] imm konstant ist, für alle [mm] \psi\in [/mm] U oder?
kann mir bitte einer weiterhelfen?
danke und gruß.. ARI
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Ari.
Es ist alles richtig, was du tust, doch wird es in meinen Augen nicht zum Ziel führen. Warum, das kannst du dir klar machen, wenn du überlegst, dass die Konstanz der Funktion zu zeigen ist. Was also nicht existieren darf, sind zwei Punkte, die unter $f$ verschiedene Funktionswerte annehmen. Solche Punkte haben ja einen festen Abstand zueinander. In dem Ansatz, den du gewählt hast, kannst du aber nur über hinreichend kleine Umgebungen eines Punktes etwas aussagen. Daher sehe ich nicht, wie man deinen Ansatz weiter führen könnte.
Besser klappt es da mit dem Mittelwertsatz, der dir eine Verbindung zwischen Gradient und Differenz zweier Funktionswerte liefert.
Zur Wiederholung:
Ist $U$ offen und [mm] $a,b\in [/mm] U$, sodass auch die Verbindungsstrecke von $a$ und $b$ in $U$ liegt, und ist $f$ stetig differenzierbar auf $U$, so gibt es ein $x$ auf der Verbindungsstrecke von $a$ und $b$, sodass $f(b)-f(a)=Df(x)(b-a)$.
Einfache Anwendung führt hier nicht weiter, weil je zwei Punkte nicht direkt miteinander verbunden werden können müssen. Allerdings kannst du den Mittelwertsatz auf je zwei aufeinander folgende Punkte des die beiden zu betrachtenden Punkte verbindenden Streckenzuges anwenden.
Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mo 12.06.2006 | | Autor: | AriR |
ok jetzt habe ich einen grund gefungen, mich mit dem MSW anzufreunden :D
also so gesehen kann man den beweis foldendermaßen führen:
Bedingung für den MWS laut aufgabe erfüllt [mm] \Rightarrow [/mm] f(b)-f(a)= D f(x) *(b-a) [mm] \Rightarrow [/mm] (D f(x)=0 [mm] \forall x\in [/mm] U) f(a)=f(b) für alle [mm] a,b\in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] f ist konstant
ist das so richtig?
danke.. Ari
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der beweis ist im grunde tatsächlich so einfach, ja.
allerdings musst du schon ein wenig ausführlicher argumentieren: zB. wähle [mm] $x_0\in [/mm] U$ fest. jeder andere punkt in U kann nun durch einen streckenzug mit [mm] $x_0$ [/mm] verbunden werden. über die verschiedenen 'eckpunkte' kannst du dich dann bis nach [mm] $x_0$ [/mm] durchhangeln und jeweils den MWS anwenden.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:21 Di 13.06.2006 | | Autor: | AriR |
alles klar danke.. ich versuchs dann mal :)
Gruß Ari
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