konv. konkave Fkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 30.11.2014 | | Autor: | ivanhoe |
| Aufgabe | | Sei $p$ eine konkave, nicht negative Funktion auf $[0,L]$. Dann kann man eine Folge von konkaven, strikt positiven 2mal stetig differenzierbaren Funktionen [mm] $p_k$ [/mm] finden, so dass $p$ der [mm] $L^\infty$ [/mm] Grenzwert von [mm] $p_k$ [/mm] ist. |
Hallo Leute,
ich bin mir nicht sicher, ob meine Idee funktioniert, daher dachte ich, ich frage hier mal nach. Ich wollte [mm] $p_k$ [/mm] wie folgt definieren und ich denke, dass jetzt alle wichtigen Eigenschaften erfüllt sind, also strikt positiv ist sie durch das [mm] $+\bruch{1}{k}$ [/mm] und konkav ist sie immernoch, denke ich, und differenzierbar ist [mm] $p_k$ [/mm] auch, also passt alles. Kann ich das so machen?
[mm] p_k(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\varepsilon}\integral_{0}^{\varepsilon} {\overline{p}(x+t) dt + \bruch{1}{k}}
[/mm]
wobei
[mm] \overline{p}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\varepsilon} \integral_{0}^{\varepsilon}{p(x+s) ds}
[/mm]
Ich bedanke mich schonmal für die Hilfestellungen.
Viele Grüße,
ivanhoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 So 30.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]p[/mm] eine konkave, nicht negative Funktion auf [mm][0,L][/mm]. Dann
> kann man eine Folge von konkaven, strikt positiven 2mal
> stetig differenzierbaren Funktionen [mm]p_k[/mm] finden, so dass [mm]p[/mm]
> der [mm]L^\infty[/mm] Grenzwert von [mm]p_k[/mm] ist.
>
> Hallo Leute,
>
> ich bin mir nicht sicher, ob meine Idee funktioniert, daher
> dachte ich, ich frage hier mal nach. Ich wollte [mm]p_k[/mm] wie
> folgt definieren und ich denke, dass jetzt alle wichtigen
> Eigenschaften erfüllt sind, also strikt positiv ist sie
> durch das [mm]+\bruch{1}{k}[/mm] und konkav ist sie immernoch, denke
> ich, und differenzierbar ist [mm]p_k[/mm] auch, also passt alles.
> Kann ich das so machen?
>
> [mm]p_k(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\varepsilon}\integral_{0}^{\varepsilon} {\overline{p}(x+t) dt + \bruch{1}{k}}[/mm]
>
> wobei
>
> [mm]\overline{p}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\varepsilon} \integral_{0}^{\varepsilon}{p(x+s) ds}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ich bedanke mich schonmal für die Hilfestellungen.
1.Deine Folge (p_k) konvergiert gleichmäßig gegen \bruch{1}{\varepsilon}\integral_{0}^{\varepsilon} {\overline{p}(x+t) dt
". Wenn p nicht stetig ist, so wird p_k i.a. nicht 2-mal stetig differenzierbar sein.
FRED
>
> Viele Grüße,
> ivanhoe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:34 So 30.11.2014 | | Autor: | ivanhoe |
Okay danke, ich habe mir schon gedacht, dass das nicht so leicht ist.
Gibt es denn einen anderen Ansatz, der funktionieren würde?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:53 So 30.11.2014 | | Autor: | ivanhoe |
Würde es zB so funktionieren:
1. ich bilde eine Zerlegung [mm] $Z_k$ [/mm] in k Teile des Invervalls $[0,L]$
2. jetzt bilde ich eine Treppenfunktion [mm] $t_k$, [/mm] die so definiert sein soll, dass [mm] $t_k(x) [/mm] > p(x)$ für alle x.
3. ich glätte die Treppenfunktion so, dass die Sprungstellen stetig miteinander verbunden werden zu einer neuen stetigen Funktion [mm] $p_k$, [/mm] die immernoch die bedingung erfüllen muss, also [mm] $p_k(x) [/mm] > p(x)$.
4. wenn ich mich nicht irre, dann ist [mm] $p_k$ [/mm] stetig und differenzierbar, strikt größer als $p$, damit strikt positiv, konkav und konvergiert mit $k [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $p$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 02.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 02.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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