konvergente Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 15.03.2011 | | Autor: | Phyrex |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert [mm] a \in \IR [/mm]. Zeigen Sie, dass die durch [mm] b_n := \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] definierte Folge [mm] (b_n) [/mm] ebenfalls gegen [mm] a [/mm] konvergiert. |
Hallo
Ich sitze grade vor der obingen Aufgabe und weis nicht so recht weiter. Meine Idee war bisher, da [mm] (a_n) [/mm] ja konvergent gegen [mm] a [/mm] ist und somit auch fast alle Folgenglieder von [mm] (a_n) [/mm] in jeder Umgebung von [mm] a [/mm] liegen, das die von [mm] (b_n) [/mm] dort eigentlich auch liegen müssten wenn ich mir die so angucke.
Nur steh ich grad irgendwie auf dem Schlauch wie es weiter geht.
Danke schonmal
Gruß Phyrex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Phyrex,
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen mit
> Grenzwert [mm]a \in \IR [/mm]. Zeigen Sie, dass die durch [mm]b_n := \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} a_k[/mm]
> definierte Folge [mm](b_n)[/mm] ebenfalls gegen [mm]a[/mm] konvergiert.
Grundidee: Summe in endlichen 'bösartigen' Teil und unendlichen gutartigen Teil zerlegen.
Gehe so vor. Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Dann ist:
1) [mm] |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2} [/mm] für [mm] n\geq [/mm] N
2) Betrachte nun
[mm] \qquad $\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k-a\right|=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(a_k-a)\right|=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}(a_k-a)+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}(a_k-a)\right|\leq\frac{1}{n}\underbrace{\left|\sum_{k=1}^{N-1}(a_k-a)\right|}_{\text{=konstant}}+\blue{\frac{1}{n}\left|\sum_{k=N}^{n}\underbrace{(a_k-a)}_{<\varepsilon/2}\right|}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$
[/mm]
Der hintere (blau) Summand ist insgesamt kleiner [mm] \varepsilon/2 [/mm] (warum?). Der erste Summand ist zwischen den Betragsstrichen konstant und insgesamt folglich für [mm] $n\geq [/mm] M$ ebenfalls [mm] <\varepsilon/2.
[/mm]
Damit ist alles [mm] <\varepsilon [/mm] für [mm] n\geq [/mm] N,M
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 15.03.2011 | | Autor: | Phyrex |
Hallo Kamaleonti
also der blaue Summand ist insgesamt kleiner als [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] da die [mm] (a_k - a) [/mm] ja nach 1) [mm]< \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] sind. Größer können sie nicht werden, und wenn man dann die Summe durch n teilt usw...
Mir ist nur nicht klar warum [mm] {\left|\sum_{k=1}^{N-1}(a_k-a)\right|} [/mm] konstant ist. Wenn du das noch erläutern könntest.
Gruß Phyrex
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> Hallo Kamaleonti
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> also der blaue Summand ist insgesamt kleiner als
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] da die [mm](a_k - a)[/mm] ja nach 1) [mm]< \bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
> sind. Größer können sie nicht werden, und wenn man dann
> die Summe durch n teilt usw...
>
> Mir ist nur nicht klar warum
> [mm]{\left|\sum_{k=1}^{N-1}(a_k-a)\right|}[/mm] konstant ist. Wenn
> du das noch erläutern könntest.
N ist eine feste Zahl, die in 1) für das jeweilige [mm] \varepsilon [/mm] gewählt wurde. Damit sind es nur endlich viele Summanden. Also ist die Summe endlich (=konstant).
>
> Gruß Phyrex
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Do 17.03.2011 | | Autor: | Phyrex |
Hallo
Ah ok, endlich und konstant hatte ich noch nicht verknüpft.
Vielen Dank, ich denke ich habe es nun verstanden.
Gruß Phyrex
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