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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussage:
Die Folge f ist konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] f ist eine Cauchyfolge |
Hallo,
ich habe einige Fragen zu diesem Beweis.
Die Musterlösung sieht folgendes vor:
Ist a der Grenzwert von f und ist [mm] \varepsilon [/mm] := 1 vorgegeben, so gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] \left| a_n - a \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n_0 \in \IN. [/mm]
Bis hierher kann ich das noch nachvollziehen, denn wenn f konvergent ist, mit dem Grenzwert a, dann gibt es ja so ein [mm] n_0 [/mm] für das gilt, dass der Abstand aller Folgenglieder deren n größer ist [mm] n_0, [/mm] kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist. Nun geht es aber folgendermaßen weiter:
Hieraus folgt
[mm] \left| a_n \right| [/mm] = [mm] \left| a_n - a + a\right| \le \left| a_n - a \right| [/mm] + [mm] \left| a \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \left| a \right| [/mm] für alle [mm] n_0 \in \IN. [/mm]
Damit kann ich irgendwie nicht allzu viel anfangen. Ich kann zwar die einzelnen Umformungsschritte nachvollziehen, aber ich weiß nicht so richtig, was mir das bringt im Zusammenhang mit dem Folgenden und wieso man so umformt?! Außerdem verstehe ich nicht, wieso [mm] \varepsilon [/mm] := 1 gesetzt wurde, wenn die 1 in dem ganzen Beweis nicht mehr vorkommt. Und wieso das nun Folgende (dass ja offensichtlich zeigt, dass die Folge f beschränkt ist) beweisen soll, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt, verstehe ich nicht. Nur weil eine Folge beschränkt ist, ist es doch noch lange keine Cauchyfolge, oder?
Setzt man z.B. K := max [mm] \left\{ a_1, ..., a_n_o_-_1 , \varepsilon + \left| a \right| \right\}, [/mm] so gilt
[mm] \left| a_n \right| \le [/mm] K für alle [mm] n_0 \in \IN,
[/mm]
d.h. [mm] (a_n) [/mm] ist beschränkt.
Bitte, kann mir jemand damit weiterhelfen. Ich wäre sehr dankbar dafür.
Viele Grüße,
das Schlupfinchen!
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Hallo schlumpfinchen,
> Beweisen Sie die folgende Aussage:
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> Die Folge f ist konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] f ist eine
> Cauchyfolge
> Hallo,
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> ich habe einige Fragen zu diesem Beweis.
>
> Die Musterlösung sieht folgendes vor:
>
> Ist a der Grenzwert von f und ist [mm]\varepsilon[/mm] := 1
> vorgegeben, so gibt es ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit [mm]\left| a_n - a \right|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm] für alle [mm]n_0 \in \IN.[/mm]
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> Bis hierher kann ich das noch nachvollziehen, denn wenn f
> konvergent ist, mit dem Grenzwert a, dann gibt es ja so ein
> [mm]n_0[/mm] für das gilt, dass der Abstand aller Folgenglieder
> deren n größer ist [mm]n_0,[/mm] kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] ist. Nun
> geht es aber folgendermaßen weiter:
>
> Hieraus folgt
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> [mm]\left| a_n \right|[/mm] = [mm]\left| a_n - a + a\right| \le \left| a_n - a \right|[/mm]
> + [mm]\left| a \right|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\left| a \right|[/mm] für
> alle [mm]n_0 \in \IN.[/mm]
>
> Damit kann ich irgendwie nicht allzu viel anfangen. Ich
> kann zwar die einzelnen Umformungsschritte nachvollziehen,
> aber ich weiß nicht so richtig, was mir das bringt im
> Zusammenhang mit dem Folgenden und wieso man so umformt?!
> Außerdem verstehe ich nicht, wieso [mm]\varepsilon[/mm] := 1 gesetzt
> wurde, wenn die 1 in dem ganzen Beweis nicht mehr
> vorkommt. Und wieso das nun Folgende (dass ja
> offensichtlich zeigt, dass die Folge f beschränkt ist)
> beweisen soll, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt,
> verstehe ich nicht. Nur weil eine Folge beschränkt ist, ist
> es doch noch lange keine Cauchyfolge, oder?
>
> Setzt man z.B. K := max [mm]\left\{ a_1, ..., a_n_o_-_1 , \varepsilon + \left| a \right| \right\},[/mm]
> so gilt
> [mm]\left| a_n \right| \le[/mm] K für alle [mm]n_0 \in \IN,[/mm]
>
> d.h. [mm](a_n)[/mm] ist beschränkt.
>
>
> Bitte, kann mir jemand damit weiterhelfen. Ich wäre sehr
> dankbar dafür.
Bist du sicher, dass du den richtigen Beweis abgetippt hast?
Das hier ist doch der Beweis für die Beh., dass jede konvergente Folge beschränkt ist.
Der Beweis, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist, ergibt sich unmittelbar aus der Dreiecksungleichung des Betrages.
Sei nämlich [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$
[/mm]
Dann existiert nach Def. "konvergent" zu beliebigem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0\in\IN$, [/mm] sodass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Dann gilt natürlich ebenso für ein beliebiges [mm] $m>n_0$, [/mm] dass [mm] $|a_m-a|<\frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
Dann ist für [mm] $n,m>n_0$ [/mm] doch [mm] $|a_n-a_m|=|(a_n-a)+(a-a_m)|\le|a_n-a|+|a_m-a|<....$
[/mm]
> Viele Grüße,
> das Schlupfinchen!
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
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> Bist du sicher, dass du den richtigen Beweis abgetippt
> hast?
> Das hier ist doch der Beweis für die Beh., dass jede
> konvergente Folge beschränkt ist.
Du hattest recht. Ich habe mich vertan. Es sollte gezeigt werden, dass jede konvergente Folge beschränkt ist. Ich hatte die Aufgabe aus einer Altklausur
dort war alles etwas unübersichtlich.
Trotzdem verstehe ich den Beweis nicht so ganz. Vielleicht kann mir ja trotzdem nochmal jemand weiterhelfen...?
Mir ist zwar klar, dass wenn es ein K gibt, für das für alle natürlichen Zahlen gilt [mm] \left| a_n \right| \le [/mm] K, dass die Folge dann beschränkt ist. Aber ich verstehe z.B auch nicht, wieso man als das K das Maximum der oben beschriebenen Menge nimmt. Warum besteht diese Menge nur aus [mm] a_1,......a_n_o_-1, \varepsilon [/mm] + [mm] \left| a \right|? [/mm] Wieso ist dieses [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \left| a \right| [/mm] in dieser Menge enthalten? Was hat es damit auf sich? Und wieso ist in dieser Menge ansonsten nur [mm] a_1,......a_n_o_-1 [/mm] enthalten?
Vielen Dank schon mal und viele Grüße,
schlumpfinchen
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
eigentlich ist der Beweis ziemlich klar, wenn du ihn in Ruhe liest und wirken lässt ;)
Aus der Konvergenz der Folge $(a_n)_{n\in\IN$ mit GW a folgt ja die Existenz dieses $n_0$, so dass ab diesem Folgenglied alle weiteren Folgenglieder vom GW einen Abstand kleiner als ein beliebig vorgegebenes $\varepsilon$ haben
Also zu $\varepsilon>0$ existiert ein $n_0\in\IN$, sodass für alle $n\ge n_0$ gilt $|a_n-a|<\varepsilon$
Nun will man zeigen, dass $(a_n)_{n\in\IN}$ beschränkt ist, dh. man muss zeigen, dass es ein $K\in\IR^{\ge0}$ gibt mit $|a_n|\le K$ für alle $n\in\IN$, so ist das ja definiert.
Man fängt also mit $|a_n|$ an und schätzt mit dem, was man über die Folge $(a_n)_{n\in\IN}$ weiß, ab
$|a_n|=|a_n\red{+a-a}|=|(a_n-a)+a|\le \blue{|a_n-a|}+|a|$ nach der $\triangle$-Ungleichung
$<\blue{\varepsilon}+|a|$, wegen der Konvergenz von $(a_n)_{n\in\IN}$
Diese Ungleichung gilt aber nur für diejenigen $n\in\IN$, die $\ge n_0$ sind. (das haben wir mit der Konvergenzgeschichte oben ja so konstruiert)
Es kann aber sein, dass alle (oder einige oder auch nur eines der) Folgenglieder, die vor dem $a_{n_0}$ liegen, betragsmäßig größer sind.
Stelle dir zB. eine monoton fallende Nullfolge mit durchweg positiven Folgengliedern vor
Das sind aber nur endlich viele, nämlich $a_1, a_2,...a_{n_0-1}$
Damit gibt es natürlich auch ein betragsmäßig größtes Element aus diesen $n_0-1$ Elementen
Diese Folgenglieder können, aber müssen natürlich nicht größer sein als die $|a_n|$ mit $n\ge n_0$
Um das zu berücksichtigen, wählt man halt die Schranke als Maximum der Menge $\{a_1,a_2,...,a_{n_0-1},\varepsilon+a\}$
Dann ist man auf der sicheren Seite und hat die Möglichkeit abgedeckt, dass eines der $a_k$ mit $k<n_0$ möglicherweise betragsmäßig größer ist als die (alle) $a_l$ mit $l\ge n_0$
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich umschrieben 
Wenn du noch Fragen hast, nur zu ...
Liebe Grüße
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ich habe die Erklärung gerade durchgelesen und ich denke, dass ichs jetzt verstanden habe. Also erstmal vielen Dank dafür und nochmal viele Grüße,
das schlumpfinchen!
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