konvergente Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{(n+1)(n^2-1)}{(2n+1)(3n^2+1)} [/mm] |
Hallo an alle!
Wir haben heute in Analysis 3 Beispiele aufbekommen und dieses ist eines davon. Die Frage dazu lautet:
Ist die folgende Folge konvergent? Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
Ich bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)(n^2-1)}{(2n+1)(3n^2+1)} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^3+n^2-n-1)}{(6n^3+3n^2+2n+1)}
[/mm]
So und dann bin ich nicht weitergekommen. Dann habe ich bei einem Kollegen die Aufgabe gesehen. Der hat alles durch [mm] n^3 [/mm] dividiert und kommt auf das Ergebnis: [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Stimmt das? Kann ich den ganzen Bruch durch [mm] n^3 [/mm] dividieren? Wie mache ich das, bei mir kommt nämlich nicht dasselbe raus, ich glaube ich rechne da falsch!
Und ist die Folge dann konvergent oder nicht? Und warum? Fragen über Fragen ...
Danke schon mal im Voraus für Eure Hilfe!
Lg Ines
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Psychopath |
Nein, du meinst man kann Zähler und Nenner durch n³ teilen.
Das darf man, siehe Bruchrechnung.
Und dann stimmts.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
und wie sieht diese Rechnung dann aus? Wenn ich nämlich so weit bin, weiß ich nicht genau was ich wegkürzen oder zusammenfassen kann?
[mm] \bruch{\bruch{n^3}{n^3} + \bruch{n^2}{n^3} - \bruch{n}{n^3}- \bruch{1}{n^3}}{\bruch{6n^3}{n^3} + \bruch{3n^2}{n^3} + \bruch{2n}{n^3} + \bruch{1}{n^3}} [/mm] = ?
|
|
|
| |
|
> und wie sieht diese Rechnung dann aus? Wenn ich nämlich so
> weit bin, weiß ich nicht genau was ich wegkürzen oder
> zusammenfassen kann?
>
> [mm]\bruch{\bruch{n^3}{n^3} + \bruch{n^2}{n^3} - \bruch{n}{n^3}- \bruch{1}{n^3}}{\bruch{6n^3}{n^3} + \bruch{3n^2}{n^3} + \bruch{2n}{n^3} + \bruch{1}{n^3}}[/mm]
> = ?
1. Kürze alle 8 Brüche mit der höchsten Potenz von n,
die im Zähler steht.
2a.) Der erste Bruch im Zähler ist 1 [mm] (n^3 [/mm] kürzen).
2b.) Der erste Bruch im Nenner ist 6 [mm] (n^3 [/mm] kürzen).
3. Alle übrigen Brüche werden zu 1/n oder [mm] 1/n^2 [/mm] oder [mm] 1/n^3
[/mm]
Wenn nun n gegen unendlich geht, werden die alle zu Null
Übrig bleibt nur der erste Bruch im Zähler bzw. im Nenner, also 1:6
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mi 17.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hi Ines27,
Das sieht doch schon mal gut aus!
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^3+n^2-n-1)}{(6n^3+3n^2+2n+1)}[/mm]
Die Granzwertsäatze kennst du ?
Es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n + \lim_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
Klammer in Zähler und Nenner [mm]n^3[/mm]aus und schau was passiert. Danach lässt du das dann alles gegen unendlich laufen.
Nutze außerdem bekannte Grenzwerte :)
lg
|
|
|
|
