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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Sa 13.05.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Ist die folgende Reihe konvergent:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{6^{n}} \vektor{3n \\ n} [/mm] |
Ich habe die binom.koeffizienten aufgeschrieben und gekürzt, dann erhalte ich
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{6})^{n} \bruch{(3n)(3n-1)(3n-2)....(2n+1)}{n!}
[/mm]
Stimmt dieser ansatz? Wenn ja, wie mache ich da weiter? Wenn nein, wie kann ich mich sonst an dieses Problem ranwagen? Gibt es eine einfachere Methode, die ich übersehen habe? Ein Kriterium, dass eine schönere Lösung ermöglicht?
Danke schon mal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo papillon!
Mit Deinem "Ansatz" hast Du ja lediglich die aufzusummierende Folge [mm] $a_n$ [/mm] aufgeschrieben.
Um hier die Konvergenz der Reihe nachzuweisen, bietet sich das Quotientenkriterium an:
[mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{1}{6^{n+1}} \vektor{3(n+1) \\ n+1}}{\bruch{1}{6^{n}} \vektor{3n \\ n}}\right| [/mm] \ = \ ...$
Formuliere hier dann auch:
[mm] $\vektor{3n\\n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(3n)!}{n!*(3n-n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(3n)!}{n!*(2n)!}$
[/mm]
[mm] $\vektor{3*(n+1)\\n+1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{3n+3\\n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(3n+3)!}{(n+1)!*(3n+3-n-1)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)}{n!*(n+1)*(2n+2)!}\ [/mm] = \ [mm] \bruch{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)}{n!*(n+1)*(2n)!*(2n+1)*(2n+2)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 13.05.2006 | | Autor: | papillon |
Ok, da hätt ich ja locker draufkommen können, die fakultäten lassen sich dann ja sauber wegkürzen.
Aber ich komme dann für den lim auf einen wert von 1,125.
Das würde ja bedeuten dass die Reihe divergiert. Stimmt das so?
Vielen dank, echt nett von dir mir weiterzuhelfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo papillon!
> Aber ich komme dann für den lim auf einen wert von 1,125.
> Das würde ja bedeuten dass die Reihe divergiert.
Das habe ich auch so ermittelt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ...
Gruß
Loddar
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