konvergente Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Anabella |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine gegen a konvergierende Folge.
zz: Jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] konvergiert ebenfalls gegen a. |
Da [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert, weiß ich:
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0\ [mm] \exists N(\varepsilon) [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] \ [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] $
Nun sei [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] eine beliebige Teilfoge von [mm] (a_n).
[/mm]
Wie zeige ich, dass
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0\ [mm] \exists N(\varepsilon) [/mm] \ [mm] \forall n_k \ge N(\varepsilon) [/mm] \ [mm] |a_{n_{k}} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] $ gilt?
Vor allem ist mir nicht klar, wie ich von [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] auf [mm] \forall n_k \ge N(\varepsilon) [/mm] kommen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Anabella, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine gegen a konvergierende Folge.
> zz: Jede Teilfolge von [mm](a_n)[/mm] konvergiert ebenfalls gegen a.
Heißt die Aufgabe wirklich so? Das ist unpräzise. Da fehlt ein wesentliches Wort, das zugleich die Lösung beherbergt:
Jede unendliche Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] konvergiert ebenfalls gegen a.
> Da [mm](a_n)[/mm] gegen a konvergiert, weiß ich:
> [mm]\forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon) \ \forall n \ge N(\varepsilon) \ |a_n - a| < \varepsilon[/mm]
>
> Nun sei [mm](a_{n_{k}})[/mm] eine beliebige Teilfoge von [mm](a_n).[/mm]
> Wie zeige ich, dass
> [mm]\forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon) \ \forall n_k \ge N(\varepsilon) \ |a_{n_{k}} - a| < \varepsilon[/mm]
> gilt?
>
> Vor allem ist mir nicht klar, wie ich von [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge N(\varepsilon)[/mm]
> auf [mm]\forall n_k \ge N(\varepsilon)[/mm] kommen könnte.
Wenn die Teilfolge unendlich ist, hat sie sozusagen einen endlichen Teil von [mm] n_k
Klar?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Anabella |
Danke für die Antwort.
Das hört sich schlüssig an, aber ganz verstehe ich noch nicht, warum jede unendliche Teilfolge einen unendlichen Teil mit $ [mm] n_k\ge N(\varepsilon) [/mm] $ haben muss.
Hat das damit zu tun, dass [mm] (n_k) [/mm] nach unten beschränkt ist, weil [mm] (n_k) [/mm] = [mm] (n_1, n_2, [/mm] ... ) mit [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ... ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabella,
> Danke für die Antwort.
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> Das hört sich schlüssig an, aber ganz verstehe ich noch
> nicht, warum jede unendliche Teilfolge einen unendlichen
> Teil mit [mm]n_k\ge N(\varepsilon)[/mm] haben muss.
>
> Hat das damit zu tun, dass [mm](n_k)[/mm] nach unten beschränkt
> ist, weil [mm](n_k)[/mm] = [mm](n_1, n_2,[/mm] ... ) mit [mm]n_1[/mm] < [mm]n_2[/mm] < ... ?
ist [mm] $\epsilon [/mm] > 0,$ so existiert wegen [mm] $a_{n} \to [/mm] a$ ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$
[/mm]
so, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Nun hattet ihr doch definiert, dass, wenn [mm] $\phi: \IN \to \IN$ [/mm] streng wächst,
dann [mm] $(a_{\phi(n)})_n$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] heißt.
(Ihr habt's anders notiert, aber das hier ist nur eine Umformulierung
Eurer Definition: Setze einfach [mm] $\phi(k):=n_k$ [/mm] in Eurer Notation!)
Jetzt überlege mal: Wenn $k [mm] \ge N=N_\epsilon$ [/mm] - was gilt dann für
[mm] $\phi(k)$ [/mm] für $k [mm] \ge N\,,$ [/mm] wenn [mm] $\phi: \IN \to \IN$ [/mm] streng wächst?
Was bedeutet das für [mm] $|a_{\phi(k)}-a|$ [/mm] bei $k [mm] \ge [/mm] N$?
Und wenn Dich das [mm] $\phi(k)$ [/mm] stört: Wie gesagt, Du kannst es wieder zu
[mm] $n_k=\phi(k)$ [/mm] umschreiben.
P.S. Nur mal als Beispiel:
Nehmen wir mal an, es wäre [mm] $|a_n-a| [/mm] < 1/2$ für alle $n [mm] \ge 10=N\,.$
[/mm]
Jetzt nehmen wir mal an, dass [mm] $n_k$ [/mm] die $k$-te Primzahl sei:
[mm] $$n_1=2,\;n_2=3,\;n_3=5,\;n_4=7,\;n_5=11,\;n_6=13,\;n_7=17,\;...$$
[/mm]
Dann ist zwar sicher schon [mm] $|a_{n_k}-a| [/mm] < 0.5$ für alle $k [mm] \ge 5\,,$ [/mm] denn
es ist ja schon [mm] $n_5 \ge 10=N\,.$ [/mm] Aber was wir definitiv wüssten:
[mm] $|a_{n_{k}}-a| [/mm] < 1/2$ für alle $k [mm] \ge [/mm] 10=N$ wird sicher gelten, denn es
ist ja [mm] $n_N=n_{10} \ge [/mm] 10=N$...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Anabella |
Danke für die ausführliche Antwort!
> Jetzt überlege mal: Wenn [mm]k \ge N=N_\epsilon[/mm] - was gilt
> dann für
> [mm]\phi(k)[/mm] für [mm]k \ge N\,,[/mm] wenn [mm]\phi: \IN \to \IN[/mm] streng
> wächst?
> Was bedeutet das für [mm]|a_{\phi(k)}-a|[/mm] bei [mm]k \ge N[/mm]?
Wenn k [mm] \ge N(\epsilon), [/mm] dann gilt [mm] n_k \ge n_{N(\epsilon)} \ge N(\epsilon). [/mm] Aber was bedeutet das für $ [mm] |a_{n_k}-a| [/mm] $?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die ausführliche Antwort!
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> > Jetzt überlege mal: Wenn [mm]k \ge N=N_\epsilon[/mm] - was gilt
> > dann für
> > [mm]\phi(k)[/mm] für [mm]k \ge N\,,[/mm] wenn [mm]\phi: \IN \to \IN[/mm] streng
> > wächst?
> > Was bedeutet das für [mm]|a_{\phi(k)}-a|[/mm] bei [mm]k \ge N[/mm]?
>
> Wenn k [mm]\ge N(\epsilon),[/mm] dann gilt [mm]n_k \ge n_{N(\epsilon)} \ge N(\epsilon).[/mm]
> Aber was bedeutet das für [mm]|a_{n_k}-a| [/mm]?
na, es ist doch [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N(\epsilon)\,.$
[/mm]
Und nun hast Du oben selbst überlegt, dass aus $k [mm] \ge N(\epsilon)$
[/mm]
auch [mm] $n_k \ge N(\epsilon)$ [/mm] folgt.
Also gilt - wenn $k [mm] \ge N(\epsilon)$ [/mm] ist - für [mm] $|a_{n_k}-a|$ [/mm] demzufolge
was? Und was hast Du dann gezeigt? (Schau' nochmal bei Wolfgang
(Helbig) nach, was genau eigentlich zu zeigen ist, wenn Du's gerade nicht
siehst!)
P.S.
Oder nochmal so:
Wenn [mm] $\phi: \IN \to \IN$ [/mm] streng wächst, dann gilt [mm] $\phi(k) \ge [/mm] k$ für alle
$k [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ ein [mm] $N(\varepsilon)$
[/mm]
so, dass [mm] $|a_n-a|< \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N(\varepsilon)\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $\phi(k) \ge N(\varepsilon)$ [/mm] für alle $k [mm] \ge N(\varepsilon)$ [/mm] folgt
dann für alle $k [mm] \ge N(\varepsilon)$ [/mm] sodann
[mm] $$|a_{\phi(k)}-a| [/mm] < [mm] \ldots?$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Anabella |
Das fettgedruckte "für alle" war der Hinweis, bei dem es Klick gemacht hat. Vielen Dank nochmals.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das fettgedruckte "für alle" war der Hinweis, bei dem es
> Klick gemacht hat. Vielen Dank nochmals.
gerne. 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine gegen a konvergierende Folge.
> zz: Jede Teilfolge von [mm](a_n)[/mm] konvergiert ebenfalls gegen
> a.
> Da [mm](a_n)[/mm] gegen a konvergiert, weiß ich:
> [mm]\forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon) \ \forall n \ge N(\varepsilon) \ |a_n - a| < \varepsilon[/mm]
>
> Nun sei [mm](a_{n_{k}})[/mm] eine beliebige Teilfoge von [mm](a_n).[/mm]
> Wie zeige ich, dass
> [mm]\forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon) \ \forall n_k \ge N(\varepsilon) \ |a_{n_{k}} - a| < \varepsilon[/mm]
> gilt?
Dies mußt Du gar nicht zeigen. Sondern:
[mm]\forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon) \ \forall k \ge N(\varepsilon) \ |a_{n_{k}} - a| < \varepsilon[/mm]
Und um dies zu folgern, muß Du wissen, was eine Teilfolge ist. Und wir können Dir nur weiterhelfen, wenn Du uns sagst, wie in Eurer Vorlesung der Begriff "Teilfolge" definiert ist.
>
> Vor allem ist mir nicht klar, wie ich von [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge N(\varepsilon)[/mm]
> auf [mm]\forall n_k \ge N(\varepsilon)[/mm] kommen könnte.
Dieser Schluß ist trivial. Übersetzt auf deutsch lautet die erste Aussage:
Ist die Nummer $n$ eines Folgengliedes größer als [mm] $N(\varepsilon)$, [/mm] so ist [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$.
[/mm]
Nun kann ich die Nummer eines Folgengliedes auch [mm] $n_k$ [/mm] nennen und erhalte die zweite Aussage.
Aber: Mit diesem Schluß hast Du nicht die Aufgabe gelöst!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Anabella |
| Aufgabe | | Was ist eine Teilfolge? |
Eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] der Folge [mm] (a_n) [/mm] ist eine Teilmenge [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ... < [mm] n_n [/mm] < ... der natürlichen Zahlen.
So habe ich mir die Definition notiert.
Kann ich $ k [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] $ annehmen und dadurch auf $ [mm] n_k \ge n_{N(\varepsilon)} [/mm] $ schließen? Hilft mir das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Marcel |
siehe andere Antwort
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Definition 5.22