konvergente Teilfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Do 29.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hi,
Aufgabe: Sei n [mm] \in [/mm] N und [mm] (R^n; ||.||_{\infty}) [/mm] . Sei [mm] (a^k)_{k \in N} [/mm] Folge und zu k [mm] \in [/mm] N sei: [mm] a^k=(a^k_{1}, [/mm] ... , [mm] a^k_{n}) [/mm]
Zur zeigen: [mm] (a^k) [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] (a^k_j)_{k \in N} [/mm] konvergiert für alle j [mm] \in [/mm] N [mm] 1\le j\le [/mm] n .
Falls ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann sollte ich den Satz von Bolzano Weierstraß beweisen.
Ich habe den Beweis von Fred mal gefunden : https://matheraum.de/read?i=739203 der aber an der Stelle nicht genügt, da es für alle j [mm] \in [/mm] N gelten sollte.
Meine Idee:
1) '' [mm] (a^k) [/mm] konv [mm] \Rightarrow (a^k_j) [/mm] konv. [mm] \forall [/mm] j [mm] \in [/mm] N : 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n ''
Aus der Voraussetzung folgt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0, [mm] \exists n_0 \in [/mm] N , [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] |a^k-a|< \varepsilon [/mm] .
Daraus sollte schon folgen , dass auch alle Teilfolgen gegen a konvergieren, denn wenn es ein [mm] n_0 [/mm] groß genug gibt, damit die Bedienung erfüllt ist, sollte es egal sein was für j ich habe, oder?
Nun mal, wie könnte ich das ordentlich zeigen ?
vielen Dank,
arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Do 29.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> Aufgabe: Sei n [mm]\in[/mm] N und [mm](R^n; ||.||_{\infty})[/mm] . Sei
> [mm](a^k)_{k \in N}[/mm] Folge und zu k [mm]\in[/mm] N sei: [mm]a^k=(a^k_{1},[/mm] ...
> , [mm]a^k_{n})[/mm]
>
> Zur zeigen: [mm](a^k)[/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm](a^k_j)_{k \in N}[/mm]
> konvergiert für alle j [mm]\in[/mm] N [mm]1\le j\le[/mm] n .
>
> Falls ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann sollte
> ich den Satz von Bolzano Weierstraß beweisen.
Ne, das hast Du falsch verstanden !
Du sollst zeigen, dass eine Folge im [mm] \IR^n [/mm] genau dann konvergiert, wenn jede ihrer Koordinatenfolgen konvergieren.
FRED
>
> Ich habe den Beweis von Fred mal gefunden :
> https://matheraum.de/read?i=739203 der aber an der Stelle
> nicht genügt, da es für alle j [mm]\in[/mm] N gelten sollte.
>
> Meine Idee:
>
> 1) '' [mm](a^k)[/mm] konv [mm]\Rightarrow (a^k_j)[/mm] konv. [mm]\forall[/mm] j [mm]\in[/mm] N
> : 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] n ''
>
> Aus der Voraussetzung folgt:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0, [mm]\exists n_0 \in[/mm] N , [mm]\forall[/mm] k [mm]\ge n_0[/mm]
> : [mm]|a^k-a|< \varepsilon[/mm] .
>
> Daraus sollte schon folgen , dass auch alle Teilfolgen
> gegen a konvergieren, denn wenn es ein [mm]n_0[/mm] groß genug
> gibt, damit die Bedienung erfüllt ist, sollte es egal sein
> was für j ich habe, oder?
>
> Nun mal, wie könnte ich das ordentlich zeigen ?
>
> vielen Dank,
>
> arraneo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 29.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hi Fred!
Obwohl ich mich jedes Mal freue, wenn du auf meine dumme Frage antwortest, verstehe ich nicht wirklich was du meinst..
Du hast höchstwahrscheinlich Recht, aber wir haben keine Koordinatenfolgen gemacht.. :(
Wie soll ich denn das zeigen?
arraneo. ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Do 29.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred!
>
> Obwohl ich mich jedes Mal freue, wenn du auf meine dumme
> Frage antwortest, verstehe ich nicht wirklich was du
> meinst..
>
> Du hast höchstwahrscheinlich Recht, aber wir haben keine
> Koordinatenfolgen gemacht.. :(
Was heißt gemacht ??
Du hast: $ [mm] (a^k)_{k \in N} [/mm] $ Folge und zu k $ [mm] \in [/mm] $ N sei: $ [mm] a^k=(a^k_{1}, [/mm] $ ... , $ [mm] a^k_{n}) [/mm] $
Sei [mm] a=(a_1,a_2,...,a_n) \in \IR^n.
[/mm]
zeigen sollst Du:
[mm] $a^k \to [/mm] a$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] a^k_{1} \to a_1, a^k_{2} \to a_2, [/mm] ...., [mm] a^k_{n} \to a_n
[/mm]
FRED
>
> Wie soll ich denn das zeigen?
>
> arraneo. ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Fr 30.11.2012 | | Autor: | arraneo |
hey.
Also für den metrischen Raum X versehen mit der euklidischen Norm haben wir gerade die gleiche Aufgabe in der Vorlesung bewiesen.
Frage: sollte hier also das gelten: [mm] d(a,a^k)< \varepsilon \gdw d(a_j,a^k_j)<\varepsilon [/mm] ? wobei [mm] d(a,a^k)= ||a^k-a||_{\infty}=max_{1\le i \le n}|a_i-a^k_i| [/mm] . ?
wenn so, dann [mm] \Rightarrow [/mm] :
Es gelte : [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a^k= [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 bel. aber fest. Dann existiert ein [mm] n_0 \in [/mm] N , s.d. : [mm] ||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon [/mm] , [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge n_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für j=1,...,n gilt:
[mm] |a^k_j-a_j|\le ||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty}a^k_j=a_j [/mm] .
Ist das richtig ?
Ich weiß gerade aber nicht, wie ich das in der anderen Richtung zeigen könnte..
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hey.
>
> Also für den metrischen Raum X versehen mit der
> euklidischen Norm haben wir gerade die gleiche Aufgabe in
> der Vorlesung bewiesen.
>
> Frage: sollte hier also das gelten: [mm]d(a,a^k)< \varepsilon \gdw d(a_j,a^k_j)<\varepsilon[/mm]
> ? wobei [mm]d(a,a^k)= ||a^k-a||_{\infty}=max_{1\le i \le n}|a_i-a^k_i|[/mm]
> . ?
>
> wenn so, dann [mm]\Rightarrow[/mm] :
>
> Es gelte : [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} a^k=[/mm] a [mm]\Rightarrow[/mm]
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 bel. aber fest. Dann existiert ein [mm]n_0 \in[/mm]
> N , s.d. : [mm]||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon[/mm] , [mm]\forall[/mm] k [mm]\ge n_0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für j=1,...,n gilt:
>
> [mm]|a^k_j-a_j|\le ||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty}a^k_j=a_j[/mm]
> .
>
> Ist das richtig ?
>
> Ich weiß gerade aber nicht, wie ich das in der anderen
> Richtung zeigen könnte..
in endlichdimensionalen [mm] $\IR$-Vektorräumen [/mm] sind die Normen äquivalent.
(Schlag' 'schlimmstenfalls' den Begriff "äquivalente Norm" nach!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Fr 30.11.2012 | | Autor: | arraneo |
hey Marcel, vielen Dank für die tolle Rückfrage!
Ehrlich zu sein habe ich keine Ahnung.. in der Aufgabe steht nur [mm] (R^n, ||.||_{\infty}) [/mm] geschrieben. Daher weiß ich nicht, ob den Raum endlich-dimensional ist, oder doch nicht.
Was würdest du unter der Aufgabe verstehen?
Da alle Normen auf [mm] R^n [/mm] äquivalent sind, solange n endlich ist, würde ich sagen, dass sie äquivalent sind.
Außerdem ist dieser Kurs Ana I.. Wir haben Äquivalenz von Normen in metrischen Räumen nicht gelernt, daher würde ich sagen dass [mm] R^n [/mm] endlich dimensional ist..
Sollte ich das vielleicht hinschreiben?
Oder bist du doch anderer Meinung ? ^^
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Fr 30.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \IR^n [/mm] ist per Definition endlich, nämlich n-dimensional. Wenn ihr die Äquovalenz von Normen nicht hattet, musst du also einfach den Beweis aus der Vorlesung für die neue Norm übertragen. Es soll also nur zeigen, dass du den Beweis verstanden hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 30.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Leduart,
vielen Dank. Das denke ich mir auch.. wobei es war ganz schön neue Sachen durch euch zu lernen ^^
Kann mir jemanden nun eine Idee teilen, wie ich die andere Richtung zeigen könnte?
Ich find´s nämlich doof, dass ich den Beweis hinkriegen kann, ohne dass ich eigentlich richtig weiß , was dort so passiert. :(
Naja. Ich muss nur noch zeigen, dass aus dem, dass jede Koordinatenfolge konv. , es folgt, dass auch die Folge [mm] a^k [/mm] konverviert.
lg.
arraneo.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Fr 30.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich verstehe deine Frage nicht. Du sagst ihr habt das mit der Euklidischen Norm gemacht, woran scheiterst du, das zu übertragen?
Was kannst du dir nicht vorstellen? Versuch es im [mm] \IR^3 [/mm] oder [mm] \IR^2 [/mm] wenn der Abstand von 2 Punkten klein wird, muss doch die differenz der Komponenten klein werden und umgekehrt, d,h, anschaulich ist das offensichtlich und du musst es nur formal richtig aufschreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 30.11.2012 | | Autor: | arraneo |
mit der euklidischen Norm sieht das so aus:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 bel aber fest und [mm] n_0 \in [/mm] N so gewählt dass:
[mm] |a_{i,k}-a_i|<\varepsilon/\wurzel{n} [/mm] , [mm] k\ge n_0 [/mm] für alle i=1, ... ,n .
Dann gilt:
[mm] ||a_k-a||=\wurzel{(\summe_{i=1}^{n}|a_{i,k}-a?i|^2)}\le\varepsilon/\wurzel{n}*\wurzel{n}=\varepsilon [/mm]
Das ist ja aber die euklidische Norm, aber sollte ich für meine Aufgabe nicht zeigen , dass das gilt:
[mm] ||a^k_-a||_{\infty}<\varepsilon [/mm] ?
lg, arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 30.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst den Beweis nicht benutzen, sondern übertragen. also schreib ihn mit der unendlich Norm auf und sage wo duscheiterst. Ich sehe bisher keinen Schritt eines Beweises in einer der Richtungen, also auch nicht was du dabei nicht kannst.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
meinen Hinweis, dass es einen Zusammenhang zwischen der [mm] $\|.\|_\infty$
[/mm]
und der [mm] $\|.\|_2$ [/mm] auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] gibt, solltest Du benutzen können, um
den Beweis damit zu vervollständigen.
Ich geb' Dir aber hier eh mal den folgenden Tipp:
Laut der Definition der Äquivalenz von Normen und der von mir zitierten
Aussage gilt doch:
Es gibt Konstanten $k,K > [mm] 0\,$ [/mm] so, dass für jedes $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] etwa gilt:
[mm] $$k*\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le K*\|x\|_\infty \;\;\;\;\;\;(\text{ beachte die }x-\text{ Unabhängigkeit von }k,K\,\text{!})$$
[/mm]
(Dabei könnte man auch [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] und [mm] $\|.\|_2$ [/mm] gegeneinander
vertauschen, natürlich dann mit anderen [mm] $k,K\,$ [/mm] wie den obigen!)
Bestimme mal konkret solche [mm] $k,K\,,$ [/mm] dann hast Du schon viel gewonnen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Fr 30.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Vielen Dank! Dass mit der Äquivalenz von Normen werde ich erst später machen, da ich es nicht jetzt für die Uni brauche, obwohl ich find´s ganz toll.
Erst die Lösung ohne die Äquivalenz, da ich sie nicht benutzen darf.
[mm] a^k \to [/mm] a [mm] \Rightarrow a^k_j \to a_j [/mm] :
1) Es gelte : [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a^k=a. [/mm]
Dann gibt es zu vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0 \in [/mm] N, s.d. :
[mm] ||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon [/mm] , [mm] \forall k\ge N_0
[/mm]
Dann gilt für alle j=1,...,n :
[mm] |a^k_j-a_j|\le max_{1\le j \le n}|a^k_j-a_j|=||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon
[/mm]
Ist also : [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a^k_j=a_j [/mm] .
2) Sei vorausgesetzt: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a^k_j=a_j [/mm] für j=1,...,n
Zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] N_j \in [/mm] N, s.d. :
[mm] |a^k_j-a_j|<\varepsilon [/mm] , für alle k [mm] \ge N_j
[/mm]
Für alle k [mm] \ge N:=max(N_1,...,N_n) [/mm] gilt dann:
[mm] max_{1 \le j \le n}|a^k_j-a_j|<\varepsilon \gdw ||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon [/mm] .
Ist also : [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a^k=a. [/mm]
Reicht das nicht? Soll ich wirklich erstmal zeigen, dass die Normen äquivalent sind?
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank! Dass mit der Äquivalenz von Normen werde ich
> erst später machen, da ich es nicht jetzt für die Uni
> brauche, obwohl ich find´s ganz toll.
>
> Erst die Lösung ohne die Äquivalenz, da ich sie nicht
> benutzen darf.
>
> [mm]a^k \to[/mm] a [mm]\Rightarrow a^k_j \to a_j[/mm] :
>
> 1) Es gelte : [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} a^k=a.[/mm]
>
> Dann gibt es zu vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N_0 \in[/mm] N,
> s.d. :
>
> [mm]||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon[/mm] , [mm]\forall k\ge N_0[/mm]
>
> Dann gilt für alle j=1,...,n :
>
> [mm]|a^k_j-a_j|\le max_{1\le j \le n}|a^k_j-a_j|=||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon[/mm]
>
> Ist also : [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}a^k_j=a_j[/mm] .
anstatt "Ist also" schreibe besser "Es folgt also:"! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) Sei vorausgesetzt: [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}a^k_j=a_j[/mm]
> für j=1,...,n
>
> Zu vorgegebenem [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es
für jedes $j [mm] \in \{1,\ldots,n\}$
[/mm]
> ein [mm]N_j \in[/mm] N, s.d.
> :
>
> [mm]|a^k_j-a_j|<\varepsilon[/mm] , für alle k [mm]\ge N_j[/mm]
>
> Für alle k [mm]\ge N:=max(N_1,...,N_n)[/mm] gilt dann:
>
> [mm]max_{1 \le j \le n}|a^k_j-a_j|<\varepsilon \gdw ||a^k-a||_{\infty}<\varepsilon[/mm]
und somit folgt
>
> Ist also : [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}a^k=a.[/mm]
>
> Reicht das nicht? Soll ich wirklich erstmal zeigen, dass
> die Normen äquivalent sind?
Das reicht. Ich habe Dir den Hinweis mit den "äquivalenten Normen"
gegeben, weil dann die zu zeigende Aussage aus Eurem Wissen:
"Obige Aussage wurde schon bewiesen, wobei wir aber nicht [mm] $\|.\|_\infty$
[/mm]
sondern [mm] $\|.\|_2$ [/mm] betrachtet haben!"
zu folgern gewesen wäre: Und zwar einfach, weil man dann die Äquivalenz
der Normen [mm] $\|.\|_2$ [/mm] und [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] hätte benutzen können.
Meist wird das ganze auch anders bewiesen: Man beweist etwa zunächst
wie bei Deiner Aufgabe hier, dass "Konvergenz in [mm] $\|.\|_\infty$" [/mm] und
"Koordinatenfolgenkonvergenz für alle Koordinatenfolgen" 'das gleiche'
bedeutet. Danach erinnert man daran, dass alle Normen auf dem [mm] $\IR^n$
[/mm]
äquivalent sind, und daraus folgt dann, dass in einem jeden normierten
Raum [mm] $(\IR^n, \tilde{n})\,,$ [/mm] also egal, welche Norm [mm] $\tilde{n}$ [/mm] dort
zugrundeliegt, die Konvergenz bzgl. der Norm [mm] $\tilde{n}$ [/mm] 'das gleiche'
bedeutet wie die Konvergenz einer jeden Koordinatenfolge - und das
besagt dann insbesondere auch (nochmal), dass im [mm] $\IR^n$ [/mm] gilt:
Wenn man eine Folge im [mm] $\IR^n$ [/mm] zugrundeliegen hat, dann ändert sich
deren Konvergenzverhalten nicht, wenn man "die Norm des [mm] $\IR^n$ [/mm]
variiert" - und zudem weiß man, dass im Falle der Konvergenz einer Folge
des [mm] $\IR^n$ [/mm] sich auch der Grenzwert nicht ändert, 'wenn man die Norm
variiert' - und man kann sogar, egal, welche Norm zugrundeliegt, diesen
Grenzwert stets mit Grenzwerten von in [mm] $\IR$ [/mm] konvergenten Folgen 'nach
und nach berechnen'.
Anders gesagt: Im [mm] $\IR^n$ [/mm] kann man uns noch so eine komplizierte Norm
vorlegen, die Untersuchung, ob dann eine Folge im [mm] $\IR^n$ [/mm] konvergent ist
und falls dem so ist, wogegen sie konvergiert, kann man alleine durch
Überlegungen führen, die auf Folgen in [mm] $(\IR,|.|)\,$ [/mm] beruhen:
Denn genau sowas ist ja eben "eine Koordinatenfolge".
Triviales Beispiel:
Die Folge [mm] $((1/n,\;(1+1/n)^{n+1}))_{n \in \IN} \in (\IR^2)^{\IN}$ [/mm]
konvergiert im [mm] $\IR^2$ [/mm] bzgl. einer jeden Norm des [mm] $\IR^2$ [/mm] eben einfach
gegen $(0,e) [mm] \in \IR^2\,.$ [/mm] Kannst Du das nun schnell erklären?
P.S. Falls nicht: Dann erkläre wenigstens, warum das im [mm] $(\IR^2,\|.\|_2)$
[/mm]
und im [mm] $(\IR^2,\|.\|_\infty)$ [/mm] so ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:17 Sa 01.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Marcel!
Vielen Dank für die Mitteilung, ich war nämlich sehr gefreut herauszufinden, dass ich es endlich mal hingekriegt habe. Ich nehme natürlich die kleine Kommentare auch sehr wahr und werde sie auch behalten.
Zu deiner Aufgabe: nochmals Vielen Dank auch dafür.
Die Folge : [mm] ((1/n),(1+1/n^{n+1}))_{n \in N} [/mm] konvergiert genau dann gegen (0,e) [mm] \in R^2 [/mm] , wenn die Folgen [mm] (1/n)_{n \in N} [/mm] gegen 0 und [mm] (1+1/n)^{n+1}_{n \in N} [/mm] gegen e konvergieren.
Diese seien also die Koordinatenfolgen? Ich hoffe ich habe es richtig verstanden soweit.
Weiterhin, dass (1/n) eine Nullfolge ist, ist schon bekannt, also z.B, in (R,|.|):
[mm] |1/n-0|=|1/n|<\varepsilon [/mm] ab einem bestimmten [mm] N_0\in [/mm] N. (aus dem archimedischen Axiom)
Dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n= [/mm] e. Das weiß ich dass es gilt, habe aber dafür keinen Beweis.
Ich habe das mit Logarithmus ausprobiert komme aber nirgendswo.
Weil alle Normen auf [mm] R^n [/mm] äquivalent sind, konvergieren die Folgen gegen dieselben Grenzwerte, also 0, bzw. e .
Zwischen der euklidichen Norm und der Maximumsnorm haben wir die Beziehung:
[mm] |x|\le||x||_{\infty}\le\wurzel[]{n}||x||_2. [/mm] (*)
Sei nun also [mm] (R,||.||_2) [/mm] ein normierter Raum. Dann ist:
[mm] ||1/n-0||_2=||1/n||_2= \wurzel[]{\summe_{i=1}^{n}|1/n_i-0|^2}=\wurzel[]{\summe_{i=1}^{n}|1/n_i|^2}
[/mm]
Weiterhin gilt für jedes i=1,..,n : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|1/n|=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow ||1/n-0||_2<\varepsilon [/mm] , also [mm] 1/n\to [/mm] 0, [mm] \forall n\in [/mm] N .
Mit (*) gilt das auch für die Maximumsnorm und den Betrag als Norm.
Stimmt das irgendwie?
Außerdem stimme ich dir ganz zu, es wäre ja viel leichter gewesen zu sagen, dass durch die Äquivalenz von Normen in [mm] R^n [/mm] könnten wir das nur im Raum [mm] (R^n, [/mm] |.|) ausrechnen.
lg. arraneo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:33 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Marcel!
>
> Vielen Dank für die Mitteilung, ich war nämlich sehr
> gefreut herauszufinden, dass ich es endlich mal hingekriegt
> habe. Ich nehme natürlich die kleine Kommentare auch sehr
> wahr und werde sie auch behalten.
>
> Zu deiner Aufgabe: nochmals Vielen Dank auch dafür.
>
> Die Folge : [mm]((1/n),(1+1/n^{n+1}))_{n \in N}[/mm] konvergiert
> genau dann gegen (0,e) [mm]\in R^2[/mm] , wenn die Folgen [mm](1/n)_{n \in N}[/mm]
> gegen 0 und [mm](1+1/n)^{n+1}_{n \in N}[/mm] gegen e konvergieren.
genau: Denn genau das folgt ja aus der Aufgabe (bzw. meiner etwas
allgemeineren Formulierung "für jede Norm des [mm] $\IR^n$"),
[/mm]
> Diese seien also die Koordinatenfolgen? Ich hoffe ich habe
> es richtig verstanden soweit.
>
> Weiterhin, dass (1/n) eine Nullfolge ist, ist schon
> bekannt, also z.B, in (R,|.|):
>
> [mm]|1/n-0|=|1/n|<\varepsilon[/mm] ab einem bestimmten [mm]N_0\in[/mm] N.
> (aus dem archimedischen Axiom)
ja: Hier reicht mir aber schon der Satz, dass bekanntlich [mm] $(1/n)_n$ [/mm] gegen
[mm] $0\,$ [/mm] strebt. Das musst Du nicht nochmal beweisen!
> Dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n=[/mm]
> e. Das weiß ich dass es gilt, habe aber dafür keinen
> Beweis.
Ihr müsst ja irgendwie [mm] $e\,$ [/mm] definiert haben: Je nach Eurer Definition ist
das einfacher oder schwerer. Die erste Gleichheit oben stimmt, aber da
benutzt Du schon etwas, nämlich, dass Produkte (endlich vieler, d.h. die
Anzahl der beteiligten Folgen bleibt konstant - bzw. ist unabhängig vom
Folgenindex) konvergenter Folgen gegen das Produkt der Grenzwerte
konvergieren.
Denn es ist ja [mm] $(1+1/n)^{n+1}=(1+1/n)*(1+1/n)^n \to 1*e\,.$
[/mm]
> Ich habe das mit Logarithmus ausprobiert komme aber
> nirgendswo.
>
> Weil alle Normen auf [mm]R^n[/mm] äquivalent sind, konvergieren die
> Folgen gegen dieselben Grenzwerte, also 0, bzw. e .
Na, die beiden Folgen [mm] $(1/n)_n$ [/mm] und [mm] $((1+1/n)^{n+1})_n$ [/mm] konvergieren
erstmal in [mm] $\IR$ [/mm] gegen Deine oben genannten Grenzwerte:
$$1/n [mm] \to 0\,,$$
[/mm]
[mm] $$(1+1/n)^{n+1} \to e\,,$$
[/mm]
(egal, welche Norm auf [mm] $\IR$ [/mm] zugrundeliegt).
Und damit konvergiert die von mir genannte Folge des [mm] $\IR^2$ [/mm] eben
$(0,e) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] egal, welche Norm auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] zugrundeliegt!
> Zwischen der euklidichen Norm und der Maximumsnorm haben
> wir die Beziehung:
>
> [mm]|x|\le||x||_{\infty}\le\wurzel[]{n}||x||_2.[/mm] (*)
Dabei ist wohl [mm] $|x|=\|x\|_2\,,$ [/mm] oder?
> Sei nun also [mm](R,||.||_2)[/mm] ein normierter Raum.
Du meinst [mm] $\IR^{\red{2}}\,.$ [/mm] Und das ist kein "sei" (sei = wir nehmen an,
dass das gilt...), sondern es ist ein:
Der [mm] $(\IR^2,\|.\|_2)$ [/mm] IST ein normierter Raum. (Wir nehmen das ja nicht
an, weil das mal so sein kann oder nicht, sondern das WISSEN wir, dass
das immer gilt!)
> Dann ist:
>
> [mm]||1/n-0||_2=||1/n||_2= \wurzel[]{\summe_{i=1}^{n}|1/n_i-0|^2}=\wurzel[]{\summe_{i=1}^{n}|1/n_i|^2}[/mm]
Das kapiere ich nicht: Wieso stattest Du nun den [mm] $\IR$ [/mm] mit verschiedenen
Normen aus?
> Weiterhin gilt für jedes i=1,..,n :
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|1/n|=0[/mm]
Das kapiere ich auch nicht: Die Folge [mm] $((1/n,(1+1/n)^{n+1}))_n$ [/mm] hat nur
zwei Koordinatenfolgen:
[mm] $$x^n=(x^n_1,x^n_2)=(1/n,(1+1/n)^{n+1})\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$x^n_1=1/n$$
[/mm]
und
[mm] $$x^n_2=(1+1/n)^{n+1}\,.$$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow ||1/n-0||_2<\varepsilon[/mm] , also [mm]1/n\to[/mm] 0,
> [mm]\forall n\in[/mm] N .
>
> Mit (*) gilt das auch für die Maximumsnorm und den Betrag
> als Norm.
>
> Stimmt das irgendwie?
Wie gesagt: Ich kapiere nicht, was Du da machen willst. Zu zeigen wäre
eigentlich:
Egal, welche Norm [mm] $\tilde{n}$ [/mm] man auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] hat:
Es gilt stets
[mm] $$\tilde{n}(x^n-(0,e)) \to 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;(n \to \infty)\,,$$
[/mm]
anders gesagt:
zu zeigen ist
[mm] $$\tilde{n}(\;\;(x^n_1,x^n_2)-(0,e)\;\;)\red{=}\tilde{n}(\;\;(x^n_1-0,x^n_2-e)\;\;) \to 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;(n \to \infty)\,,$$
[/mm]
wobei das [mm] $\red{=}$ [/mm] NICHT zu zeigen ist; sondern das [mm] $\red{=}$ [/mm] gilt,
weil...?
> Außerdem stimme ich dir ganz zu, es wäre ja viel leichter
> gewesen zu sagen, dass durch die Äquivalenz von Normen in
> [mm]R^n[/mm] könnten wir das nur im Raum [mm](R^n,[/mm] |.|) ausrechnen.
Ja, aber ich befürchte, Dir ist das leider noch nicht ganz klar, wieso.
Tipp: Bei der Folge [mm] $((1/k,(1+1/k)^{k+1}))_k \in \IR^{2}$ [/mm] ist bzgl. des
[mm] $\IR^n$ [/mm] einfach [mm] $n=2\,.$
[/mm]
Und sorry, ich habe gerade erst gesehen, dass ich hier "didaktisch"
unsauber war: Wir reden von Folgen des [mm] $\IR^n\,,$ [/mm] und dann
schreibe ich Folgen des [mm] $\IR^n$ [/mm] etwa als [mm] $(x^n)_n\,.$ [/mm] Das ist
natürlich gefährlich: Schreibe besser Folgen des [mm] $\IR^n$ [/mm] als
[mm] $(x^k)_k\,,$ [/mm] auch, wenn ich hoffe, dass da an den entsprechenden
Stellen klar war, was ich meinte...
(Bei der Folge oben im [mm] $\IR^2$ [/mm] war das weniger schlimm, weil ich da halt
das [mm] $n\,$ [/mm] 'nicht als Parameter' mehr benutzt habe. Da steht ja nirgends
sowas wie: "Sei [mm] $(x^n)_n \in \IR^n$ [/mm] für [mm] $n=2\,$ [/mm] eine Folge des
[mm] $\IR^n=\IR^2$..." [/mm] Aber Du siehst an diesem Beispielsatz, warum ich nicht
mehr [mm] $n\,$ [/mm] als Index einer Folge nehmen sollte, wenn das schon als
Parameter benutzt wird!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 01.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Marcel.
Sorry für die komische Ausdrücke. Ich bin nämlich kein Deutscher, daher schreibe ich manchmal Sachen anders.. aber alles was du geschrieben hast ist total sinnvoll .
In dem letzten Schritt, wo du sagst, dass du sie nicht mehr verstanden hättest habe ich mich ein bisschen vertan. Also ich war mir nicht so ganz sicher, und daher habe ich das auch noch hingeschrieben ums zu überprüfen.
Das mit den Indices ist auch jetzt klarer geworden, sowie mit den Koordinatenfolgen. Mir fiel nur diesen Schritt:
[mm] \tilde{n}(x^n-(0,e))=\tilde{n}((x^n_1,x^n_2)-(0,e))=\tilde{n}(x^n_1-0,x^n_2-e) \to [/mm] 0, wenn [mm] n\to \infty
[/mm]
Nun mal zur Zahl e: gibt`s einen Beweis für diese Folge, die als Grenzwert die Zahl e hat? Ich finde es nämlich ganz interessant und hätte gern das irgendwie erfahren.
lg,
arraneo.
PS: vielen Dank für deine Professionalität ! ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Marcel.
>
> Sorry für die komische Ausdrücke. Ich bin nämlich kein
> Deutscher,
das macht ja nix, man kann Dich schon gut verstehen. Nur das "Sei" ist
leider mathematisch etwas anderes als das, was Du meintest!
> daher schreibe ich manchmal Sachen anders.. aber
> alles was du geschrieben hast ist total sinnvoll .
>
> In dem letzten Schritt, wo du sagst, dass du sie nicht mehr
> verstanden hättest habe ich mich ein bisschen vertan. Also
> ich war mir nicht so ganz sicher, und daher habe ich das
> auch noch hingeschrieben ums zu überprüfen.
>
> Das mit den Indices ist auch jetzt klarer geworden, sowie
> mit den Koordinatenfolgen. Mir fiel nur diesen Schritt:
Mit "fiel" meinst Du "fehlte"? "Fiel" käme von "fallen"...
> [mm]\tilde{n}(x^n-(0,e))=\tilde{n}((x^n_1,x^n_2)-(0,e))=\tilde{n}(x^n_1-0,x^n_2-e) \to[/mm]
> 0, wenn [mm]n\to \infty[/mm]
>
> Nun mal zur Zahl e: gibt's einen Beweis für diese Folge,
> die als Grenzwert die Zahl e hat? Ich finde es nämlich
> ganz interessant und hätte gern das irgendwie erfahren.
Jein: Man muss ja erst mal [mm] $e\,$ [/mm] "irgendwie" definiert haben. Wenn Du
mir sagst, wie Ihr [mm] $e\,$ [/mm] definiert habt, kann ich Dir einen entsprechenden
Beweis geben bzw. verlinken.
Es gibt ja auch durchaus das Vorgehen:
1. Man zeigt, dass [mm] $((1+1/n)^n)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend ist.
2. Man zeigt, dass [mm] $((1+1/n)^n)_{n \in \IN}$ [/mm] (nach oben) beschränkt ist.
Nach dem Hauptsatz über monotone Folgen konvergiert daher [mm] $((1+1/n)^n)_{n \in \IN}\,.$
[/mm]
Dann DEFINIERT man
[mm] $$e:=\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n\,.$$
[/mm]
Hier wäre (außer den Schritten 1. und 2.) nichts zu beweisen, denn
[mm] $e=\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n$ [/mm] würde dann per Definitionem gelten.
> lg,
>
> arraneo.
>
> PS: vielen Dank für deine Professionalität ! ^^
Gerne. Darf ich fragen, welche Deine Muttersprache ist? (In Englisch oder
Französisch könnte ich halt auch ein bisschen was schreiben, wenn mir
das mal sinnvoller erschiene. Aber bei allen anderen Sprachen eher nicht! ^^)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> [mm]\IR^n[/mm] ist per Definition endlich,
es folgt eher fast per Definitionem, dass [mm] $\IR^n$ [/mm] endlich dimensional ist...
> nämlich n-dimensional.
... weil man quasi ohne Umschweife eine Basis aus [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren locker
vom Hocker hinschreiben kann!
> Wenn ihr die Äquovalenz von Normen nicht hattet, musst du
> also einfach den Beweis aus der Vorlesung für die neue
> Norm übertragen. Es soll also nur zeigen, dass du den
> Beweis verstanden hast.
Genau darauf wollte ich hinaus. (Bzw. man kann diese Überlegungen ja
auch wirklich fast komplett alleine durchführen - jedenfalls ist die
Äquivalenz der [mm] $\intfy$- [/mm] mit der "Standard"-(also der [mm] $2\,$))Norm [/mm] ja nun
wirklich leicht zu erkennen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hey Marcel, vielen Dank für die tolle Rückfrage!
welche Frage?? Das war ein Tipp!
> Ehrlich zu sein habe ich keine Ahnung.. in der Aufgabe
> steht nur [mm](R^n, ||.||_{\infty})[/mm] geschrieben. Daher weiß
> ich nicht, ob den Raum endlich-dimensional ist, oder doch
> nicht.
Die Dimensionalität hängt doch nicht von der Norm ab...
> Was würdest du unter der Aufgabe verstehen?
>
> Da alle Normen auf [mm]R^n[/mm] äquivalent sind, solange n endlich
Jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist endlich!
> ist, würde ich sagen, dass sie äquivalent sind.
Ja!
> Außerdem ist dieser Kurs Ana I.. Wir haben Äquivalenz von
> Normen in metrischen Räumen nicht gelernt,
Der Begriff passt da ja auch nicht: Jede Norm induziert eine Metrik, aber
es gibt Metriken, die nicht von einer Norm induziert sind. Aber auch in
metrischen Räumen gibt es einen analogen Begriff, der mir gerade nicht
einfallen will - vielleicht liest Fred mit und kann ihn benennen, denn ich
weiß, dass er den Begriff kennt. Ich schau' aber nachher mal nach, denn
ich glaube, ich weiß, in welchem Buch er u.a. verwendet wird...
> daher würde
> ich sagen dass [mm]R^n[/mm] endlich dimensional ist..
>
> Sollte ich das vielleicht hinschreiben?
>
> Oder bist du doch anderer Meinung ? ^^
Natürlich ist der [mm] $\IR^n$ [/mm] endlich dimensional.
Edit: P.S.: Ach, wie einfallsreich: In metrischen Räumen spricht man
davon, dass Metriken äquivalent sind. Das ist dort auch interessant, denn
ist [mm] $(M,d)\,$ [/mm] und $(M,d')$ je ein metrischer Raum und sind [mm] $d\,$ [/mm] und [mm] $d'\,$
[/mm]
äquivalente Metriken, so ist [mm] $(M,d)\,$ [/mm] genau dann vollständig, wenn
[mm] $(M,d')\,$ [/mm] dies ist...
P.P.S. Man überlege sich mal, ob normierte Räume [mm] $(V,n)\,$ [/mm] und
[mm] $(V,n'\,)\,,$ [/mm] wenn [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $n\,'$ [/mm] äquivalente Normen sind, dann
auch die entsprechenden metrischen Räume - also [mm] $V\,$ [/mm] mit der je
induzierten Metrik - dann auch äquivalente Metriken haben...
Gruß,
Marcel
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