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| Aufgabe | untersuche mithilfe der definition auf konvergenz.
[mm] a)a_{n}=\bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
[mm] b)a_{n}=\bruch{n^{2}+1}{3n^{2}+7} [/mm] |
eine folge, die einen grenzwert besitzt heißt konvergent.
eine zahl [mm] \gamma [/mm] heißt grenzwert einer zahlenfolge, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung von [mm] \gamma [/mm] unendlich viele glieder der folge liegen und außerhalb nur endlich viele.
zu a) obere schranke ist 0.707 und höher, Grenzwert= 0
zu b) untere schranke ist 0.2 und niedriger, grenzwert =0,4
beide sind also konvergent
ist das so richtig?
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> untersuche mithilfe der definition auf konvergenz.
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> [mm]a)a_{n}=\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
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> [mm]b)a_{n}=\bruch{n^{2}+1}{3n^{2}+7}[/mm]
> eine folge, die einen grenzwert besitzt heißt konvergent.
> eine zahl [mm]\gamma[/mm] heißt grenzwert einer zahlenfolge, wenn
> in jeder noch so kleinen Umgebung von [mm]\gamma[/mm] unendlich
> viele glieder der folge liegen und außerhalb nur endlich
> viele.
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> zu a) obere schranke ist 0.707 und höher, Grenzwert= 0
Der Grenwert ist richtig, allerdings schreibst Du nicht, wie Du darauf gekommen bist. Wozu Du eine obere Schranke brauchst ist mir nicht klar: es wurde doch lediglich eine Untersuchung auf Konvergenz verlangt. (Jede konvergente Folge ist nach oben und nach unten beschränkt. Eine nicht-beschränkte Folge, andererseits, wäre auch nicht konvergent.)
Deine obere Schranke ist übrigens ein wenig zu klein, denn es ist [mm] $a_1=\frac{1}{\sqrt{2}}>0.707$.
[/mm]
Weil diese Folge monoton fallend ist, wäre eigentlich eine untere Schranke interessanter als eine obere...
> zu b) untere schranke ist 0.2 und niedriger, grenzwert
> =0,4
Auch hier verstehe ich nicht, weshalb Du überhaupt eine Schranke (ganz gleich ob untere oder obere) angibst. Diese untere Schranke exakt zu begründen ist nur unnötig mühsam. Auch ohne dieses Wissen kann man den Grenzwert leicht bestimmen, indem man Zähler und Nenner durch [mm] $n^2$ [/mm] dividiert:
[mm]\frac{n^2+1}{3n^2+7}=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{3+\frac{7}{n^2}}\rightarrow \tfrac{1}{3}, \text{ für $n\rightarrow\infty$}[/mm]
>
> beide sind also konvergent
Richtig, aber eine eigentliche Begründung hast Du nicht geliefert. Bei a) mag Konvergenz und Grenzwert unmittelbar ablesbar sein, aber bei b) solltest Du schon etwas genauer begründen - und vor allem den richtigen Grenzwert angeben.
> ist das so richtig?
nicht ganz (siehe oben).
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