konvergenz einer linearen abbi < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 13.05.2009 | | Autor: | ulucay |
| Aufgabe | | es sei [mm] (A_n) [/mm] eine konvergente folge in L(X,Y) mit Grenzwert A, und [mm] (x_n) [/mm] sei eine konvergente folge in X . man beweiese , dass [mm] (A_nx_n) [/mm] in Y gegen Ax konvergiert |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
diese frage kommt mir trivial vor. ich weiß nicht genau wie ich anfangen soll kann mir vlt jemand mir ne starthilfe geben??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mi 13.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, X und Y sind normierte Räume und L(X,Y) bezeichnet den normierten Raum der stetigen linearen Abbildungen von X nach Y
[mm] (x_n) [/mm] ist als konvergente Folge beschränkt, also ex. [mm] \gamma [/mm] > 0 mit
[mm] $||x_n|| \le \gamma$ [/mm] für jedes n.
Dann:
[mm] $||A_nx_n-Ax|| [/mm] = [mm] ||A_nx_n-Ax_n+Ax_n [/mm] -Ax|| = [mm] ||(A_n-A)x_n+A(x_n-x)||$
[/mm]
[mm] $\le ||(A_n-A)x_n||+||A(x_n-x)|| \le ||A_n-A||*||x_n||+||A||*||x_n-x|| \le \gamma||A_n-A||+||A||*||x_n-x||$
[/mm]
FRED
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