konvergenz komplexer reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | für welche [mm] t\in(-\pi,\pi] [/mm] ist die folgende reihe konvergent?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(1-e^{it})^n [/mm] |
mit dem wurzelkriterium ergibt sich die frage, ob 1-e^it kleiner oder größer 1 ist. daraus folgt wiederum, dass die reihe konvergent für exp(it)<0 und divergent für exp(it)>0 ist.
das kann man ja mit der eulerschen formel umrechnen zu cos x + i sin x und JETZT weiß ich nicht, welche rolle der imaginärteil bei der entscheidung, ob das kleiner oder größer 0 ist, spielt!?
ist er vielleicht unwichtig? oder betrachtet man in diesem fall den betrag der komplexen zahl? ich weiß zwar, dass das wurzel-kriterium für komplexe reihen gilt, hab aber nirgendwo eine antwort auf die frage nach dem imaginärteil finden können.
danke,
hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> für welche t [mm]\in (-\pi[/mm] , [mm]\pi][/mm] ist die folgende reihe
> konvergent?
>
> [mm]summe_{n=1}^{\infty} (1-e^{it})^n[/mm]
Vor der [mm] $summe\,$ [/mm] ist der Backslash verlorengegangen:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (1-e^{it})^n[/mm] [mm] ($\leftarrow$ klick it!)
> mit dem wurzelkriterium
> ergibt sich die frage, ob 1-e^it kleiner oder größer 1
> ist.
Nein. Da steht
$$\summe_{n=1}^{\infty} \underbrace{(1-e^{it})^n}_{=a_n}\,.$$
Ist ist also $a_n=(1-e^{it})^n$ für jedes $n \in \IN\,,$ und bei dem Wurzelkriterium geht es um
$$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\blue{|}a_n\blue{|}}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(1-e^{it})^n|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|1-e^{it}|^n}=\limsup_{n \to \infty} \blue{|}1-e^{it}\blue{|}=\blue{|}1-e^{it}\blue{|}\,.$$
Es ist daher die Frage, ob bzw. wann
$$|1-e^{it}|$$
kleiner als $1\,$ ist. Und ob bzw. wann dieser Betrag größer als $1\,$ ist. [s]Ferner kann dieser niemals $1\,$ sein (Warum?).[/s]
[red]Diese Behauptung meinerseits war leider Unsinn! Danke für den Hinweis an Fred![/red]
Und nun berechne den Real- und Imaginärteil von $z=z(t):=1-e^{it}$ und danach beachte $|z|=\sqrt{\text{Re}^2(z)+\text{Im}^2(z)}\,.$
Alternativ kannst Du $|z|\,$ auch so berechnen:
$$|z|=\sqrt{z*\overline{z}}\,,$$
wobei $\overline{z}$ die konjugiert komplexe Zahl von $z\,$ bezeichne.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> > für welche t [mm]\in (-\pi[/mm] , [mm]\pi][/mm] ist die folgende reihe
> > konvergent?
> >
> > [mm]summe_{n=1}^{\infty} (1-e^{it})^n[/mm]
>
> Vor der [mm]summe\,[/mm] ist der Backslash verlorengegangen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (1-e^{it})^n[/mm] ([mm]\leftarrow[/mm] klick it!)
>
> > mit dem wurzelkriterium
> > ergibt sich die frage, ob 1-e^it kleiner oder größer 1
> > ist.
>
> Nein. Da steht
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \underbrace{(1-e^{it})^n}_{=a_n}\,.[/mm]
>
> Ist ist also [mm]a_n=(1-e^{it})^n[/mm] für jedes [mm]n \in \IN\,,[/mm] und
> bei dem Wurzelkriterium geht es um
> [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\blue{|}a_n\blue{|}}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(1-e^{it})^n|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|1-e^{it}|^n}=\limsup_{n \to \infty} \blue{|}1-e^{it}\blue{|}=\blue{|}1-e^{it}\blue{|}\,.[/mm]
>
> Es ist daher die Frage, ob bzw. wann
> [mm]|1-e^{it}|[/mm]
> kleiner als [mm]1\,[/mm] ist. Und ob bzw. wann dieser Betrag
> größer als [mm]1\,[/mm] ist.
> Ferner kann dieser niemals [mm]1\,[/mm] sein
Hallo Marcel, da irrst Du ! Zum Beispiel ist für $t = [mm] \pm \bruch{\pi}{3}$:
[/mm]
[mm]|1-e^{it}|=1[/mm]
Gruß FRED
> (Warum?).
>
> Und nun berechne den Real- und Imaginärteil von
> [mm]z=z(t):=1-e^{it}[/mm] und danach beachte
> [mm]|z|=\sqrt{\text{Re}^2(z)+\text{Im}^2(z)}\,.[/mm]
>
> Alternativ kannst Du [mm]|z|\,[/mm] auch so berechnen:
> [mm]|z|=\sqrt{z*\overline{z}}\,,[/mm]
> wobei [mm]\overline{z}[/mm] die konjugiert komplexe Zahl von [mm]z\,[/mm]
> bezeichne.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred!
> > Es ist daher die Frage, ob bzw. wann
> > [mm]|1-e^{it}|[/mm]
> > kleiner als [mm]1\,[/mm] ist. Und ob bzw. wann dieser Betrag
> > größer als [mm]1\,[/mm] ist.
>
>
>
> > Ferner kann dieser niemals [mm]1\,[/mm] sein
>
>
> Hallo Marcel, da irrst Du ! Zum Beispiel ist für [mm]t = \pm \bruch{\pi}{3}[/mm]:
>
> [mm]|1-e^{it}|=1[/mm]
>
>
> Gruß FRED
Ich fasse mich kurz:
Vielen Dank für das aufmerksame Lesen und den Korrekturhinweis!!
Beste Grüße,
Marcel
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hallo, vielen dank erstmal.
für |z| hab ich jetzt [mm] \wurzel{1 - 2cos t + cos² t + sin² t}, [/mm] bzw. [mm] \wurzel{2-2cos t} [/mm] herausbekommen, stimmt das?
das nimmt allerdings auch 1 als wert an (für t= +/- [mm] \pi/3)
[/mm]
jetzt weiß ich gar nicht weiter, wurzelkriterium ist doch im prinzip das stärkste? hab ich da was übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo, vielen dank erstmal.
>
> für |z| hab ich jetzt [mm]\wurzel{1 - 2cos t + cos² t + sin² t},[/mm]
> bzw. [mm]\wurzel{2-2cos t}[/mm] herausbekommen, stimmt das?
Ja
>
> das nimmt allerdings auch 1 als wert an (für t= +/-
> [mm]\pi/3)[/mm]
Stimmt
Das hab ich Marcel oben schon mitgeteilt
>
> jetzt weiß ich gar nicht weiter,
Du bist doch nah dran.
Ist t so, dass [mm]\wurzel{2-2cos t}<1[/mm] , so ist obige Reihe absolut konvergent. Welche t sind das ?
Ist t so, dass [mm]\wurzel{2-2cos t}>1[/mm] , so ist obige Reihe divergent. Welche t sind das ?
Ist [mm]\wurzel{2-2cos t}=1[/mm], so gibt das Wurzelkriterium keine Auskunft. Welche t sind das ? Versuche für diese t auch noch etwas über das Konvergenzverhalten der Reihe heraus zu bekommen
FRED
> wurzelkriterium ist doch
> im prinzip das stärkste? hab ich da was übersehen?
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also,
für [mm] -\pi/3 [/mm] < t < [mm] \pi/3 [/mm] ist die reihe absolut konvergent
für [mm] -\pi [/mm] < t < [mm] -\pi/3 [/mm] und [mm] \pi/3 [/mm] < t < [mm] \pi [/mm] ist die reihe divergent
und für t = [mm] \pm\pi/3 [/mm] gibt das wurzelkriterium keinen aufschluß.
wenn ich mir die reihe für diese werte einfach ausrechne kommt [mm] (1/2-1/2\wurzel{3})^n [/mm] für [mm] t=+\pi/3 [/mm] heraus, was gegen 0 konvergiert, würd ich sagen.
für [mm] t=-\pi/3 [/mm] das selbe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> also,
> für [mm]-\pi/3[/mm] < t < [mm]\pi/3[/mm] ist die reihe absolut konvergent
Richtig
> für [mm]-\pi[/mm] < t < [mm]-\pi/3[/mm] und [mm]\pi/3[/mm] < t < [mm]\pi[/mm] ist die reihe
> divergent
Fast richtig. Du hattest das Intervall $(- [mm] \pi, \pi]$ [/mm] zugrunde liegen, also:
für [mm]-\pi[/mm] < t < [mm]-\pi/3[/mm] und [mm]\pi/3[/mm] < t [mm] \le[/mm] [mm]\pi[/mm] ist die reihe divergent
>
> und für t = [mm]\pm\pi/3[/mm] gibt das wurzelkriterium keinen
> aufschluß.
>
> wenn ich mir die reihe für diese werte einfach ausrechne
> kommt [mm](1/2-1/2\wurzel{3})^n[/mm] für [mm]t=+\pi/3[/mm] heraus, was gegen
> 0 konvergiert, würd ich sagen.
> für [mm]t=-\pi/3[/mm] das selbe...
Das stimmt nicht ! Es ist
[mm] $1-e^{i \pi/3}= e^{-i \pi/3}$
[/mm]
Für n [mm] \in \IN [/mm] ist dann
[mm] $(1-e^{i \pi/3})^{6n}= e^{-i \pi 2n}=1$
[/mm]
Somit ist [mm] ((1-e^{i \pi/3})^{6n}) [/mm] keine Nullfolge und damit ist auch [mm] ((1-e^{i \pi/3})^{n}) [/mm] keine Nullfolge und somit ist die Reihe für t = [mm]\pi/3[/mm] divergent.
Genauso zeigt man die Divergenz für t = [mm]-\pi/3[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Fr 04.12.2009 | | Autor: | karlhungus |
ok, jetzt hab ichs, danke schön.
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