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| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n)_n [/mm] eine Nullfolge und [mm] (b_n)_n [/mm] beschränkt. Zeigen Sie, dass [mm] (a_n*b_n)_n
[/mm]
konvergent ist und bestimmen Sie den Grenzwert. |
Dazu habe ich mal eine Frage.
Ich habe mal ein Satz gelesen, undzwar:
Es sei [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge und [mm] (b_n [/mm] ) sei beschränkt.
Dann gilt: [mm] \limes_{n \to \infty}(a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] = 0
Mit diesem Satz ist ja es schon gezeigt? oder soll ich es beweisen? :S
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo ellegance!
> Mit diesem Satz ist ja es schon gezeigt? oder soll ich es
> beweisen?
Dies zu beweisen ist genau Deine Aufgabe.
Gruß
Loddar
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Es sei [mm] \left| b_n \right|\le [/mm] c ( c > 0) für alle n [mm] \in [/mm] N und epsilon > 0 gegeben.
dann bestimmt man zu [mm] \bruch{epsilon}{c} [/mm] einen Index [mm] n_0 [/mm] sodass gilt:
[mm] \left| a_n \right| [/mm] < [mm] \bruch{epsilon}{c} [/mm] für alle n > [mm] n_0
[/mm]
und so ein [mm] n_0 [/mm] existiert ja weil [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist? wäre das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\left| b_n \right|\le[/mm] c ( c > 0) für alle n [mm]\in[/mm] N
> und epsilon > 0 gegeben.
>
> dann bestimmt man zu [mm]\bruch{epsilon}{c}[/mm] einen Index [mm]n_0[/mm]
> sodass gilt:
>
> [mm]\left| a_n \right|[/mm] < [mm]\bruch{epsilon}{c}[/mm] für alle n > [mm]n_0[/mm]
>
> und so ein [mm]n_0[/mm] existiert ja weil [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist?
und unter Beachtung, dass [mm] $\epsilon/c [/mm] > 0$ gilt.
> wäre das richtig?
Ja. Denn dann folgt für alle $n > [mm] n_0$ [/mm] sodann
[mm] $$|a_n*b_n-0|=|a_n|*|b_n| \le \frac{\epsilon}{c}*c=\epsilon\,.$$
[/mm]
P.S. Es geht auch mit dem Sandwichkriterium:
$$0 [mm] \le |a_n*b_n|=|a_n|*|b_n| \le c*|a_n|$$
[/mm]
benutzen sowie die Stetigkeit des Betrages an der Stelle [mm] $0\,.$
[/mm]
(Anders gesagt: [mm] $x_n \to [/mm] 0 [mm] \iff |x_n| \to |0|=0\,.$)
[/mm]
P.P.S Das [mm] $\epsilon$ [/mm] schreibst Du mit dem FE so: [mm] [nomm]$\epsilon$[/nomm].
[/mm]
Gruß,
Marcel
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