konvergenz und divergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Limboman |
Hallo ihr!
Hab hier eine echt schwere Aufgabe zu lösen aber überhaupt keinen Ansatz wie ich sie lösen kann!
Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?
Sei (( [mm] a_{n})) [/mm] eine divergente Reihe mit nicht negativen Gliedern, dann ist
(i) [mm] ((\bruch{a_{n}}{1+a_{n}})) [/mm] divergent
(i) [mm] ((\bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}})) [/mm] konvergent
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:46 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Weißt du denn warum das so ist ?
i) wird nicht schnell genug klein, daher divergent
ii) dagegen wir schnell genug klein, wegen [mm] n^{2}
[/mm]
Machen wir mal eine Beweisidee Skizze zur i), damit es einleuchtet:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{1+a_{n+1}}*\bruch{1+a_{n}}{a_{n}}|=|\bruch{a_{n+1}+a_{n}*a_{n+1}}{a_{n}+a_{n+1}*a_{n}}|=|\bruch{1+a_{n}}{ \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}+a_{n}}|
[/mm]
Wenn nun [mm] n\rightarrow\infty:
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} [/mm] < 1, also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{1+a_{n}}{ \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}+a_{n}}|>1
[/mm]
Nun sagt das Quotientenkriterium aus, dass die Folge divergent ist !
Kannst du nun die ii)
Gruß
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Do 26.05.2005 | | Autor: | Limboman |
Hallo !
In deiner Antwort ist leider ein kleiner Fehler:
Wenn ich nämlich: von [mm] a_{n}= \bruch{1}{n} [/mm] ausgehe, dann ist die Reihe [mm] a_{n} [/mm] ja divergent, aber [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}>1 [/mm] und entsprechend ist der Limes auch genau 1 und nicht >1 !
Ich habe den Tip bekommen, dass ich eine Fallunterscheidung vornehmen soll, entweder ist [mm] a_{n} [/mm] beschränkt oder unbeschränkt ! Für unbeschränkte [mm] a_{n} [/mm] ist der Beweis auch kein Problem, da lässt sich leicht eine Minorante finden, aber wie beweise ich es für [mm] a_{n} [/mm] beschränkt, wie in [mm] a_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Do 26.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hast Recht ! Tut mir leid, da hab ich mich vertan !
Wie man das mit Beschränkheit machen kann, weiß ich gerade nicht,...
Faenôl
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Hallo!
Leider habe ich das Gefühl, dass bei deiner Aufgabe der Wurm drin ist.
Wenn bei der ersten zum Beispiel [mm] $a_n=n$, [/mm] so ist [mm] $\bruch{a_n}{1+a_n}=\bruch{n}{n+1}\to [/mm] 1$.
Abgesehen davon ist eine divergente Folge eigentlich immer eine Folge, die gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht.
Wenn die Folge aber nicht konvergent ist, dann gibt es zwei konvergente Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten (z.B. die [mm] $\liminf$- [/mm] und die [mm] $\limsup$-Folge.). [/mm] Also z.B. [mm] $c_n\to [/mm] c $ und [mm] $d_n\to [/mm] d$. Dann geht [mm] $\bruch{c_n}{1+c_n}\to \bruch{c}{1+c}$ [/mm] und [mm] $\bruch{d_n}{1+d_n}\to \bruch{d}{1+d}$. [/mm] Weil alle Folgenglieder positiv sind, sind diese Grenzwerte verschieden. Also kann die Folge nicht konvergieren.
Die zweite Aufgabe: [mm] $\bruch{a_n}{1+n^2a_n}=\bruch{1}{n^2}*\bruch{n^2a_n}{1+n^2a_n}$.
[/mm]
Weil [mm] $\bruch{n^2a_n}{1+n^2a_n}\le [/mm] 1$ und [mm] $\bruch{1}{n^2}\to [/mm] 0$ konvergiert diese Folge gegen $0$.
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Do 26.05.2005 | | Autor: | Limboman |
Alles klar das hilft mir schon einiges weiter.
Danke schön
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