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| Aufgabe | Prüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 2^{-1}*\bruch{(2n)!}{2n!} [/mm] |
also ursprünglich waren dort noch drei weitere reihen. da habe ich allerdings herausbekommen, ob sie konvergent oder divergent sind. bei diesen beiden weiß ich allerdings nicht weiter. habe schon versucht zum erfolg zu kommen, aber iwie klappt das nich. das quotientenkriterium hat mir bei a) nichts gebracht. bin da auf [mm] \bruch{0}{0} [/mm] gekommen, was ja nicht definiert ist. bei b) bekomme ich da heraus, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n+\bruch{1}{2}=\infty [/mm] ist. an sich würde ich nun sagen, dass die reihe divergiert, aber ich weiß nicht, ob ich das aufgrund von [mm] \infty [/mm] einfach so sagen darf. deshalb habe ich schon sehr viele mögliche minoranten oder majoranten gesucht, um dieses kriterium anzuwenden. jedoch ohne erfolg.
könnte mir vllt jemand helfen und mir einen ansatz geben?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
erste Reihe:
mit [mm] \wurzel(n)+\wurzel{n+1} [/mm] erweitern, danach Minorante oder Majorante suchen.
zweite.
die [mm] 2^{-1} [/mm] rausziehen. dann schreib mal ein paar Glieder aus. oder ein allgemeines glied mit Pünktchen statt der Fakultät.
Gruss leduart
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also...
hab das jetz mal so umgeformt, wie du gesagt hast. komme da auf
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}=\bruch{1}{n*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}*\bruch{(2n)!}{2n!}=\bruch{1}{2^{n+1}}*2n(2n-1)(2n-2)***(n+1)
[/mm]
finde hier aber keine konvergenten majoranten oder divergenten minoranten... :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du [mm] (\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1) [/mm] durch ne Zahl abschätzen? dann tus.
Du hast jetzt ne andere Reihe als vorher.
schreib unter jeden der Faktoren eine 2. also teil die [mm] 2^{n+1} [/mm] auf.
Ein bissel rumprobieren muss man schon. bei 1 hättest du ja mal ein paar Zahlen einsetzen können bei 2 die [mm] 2^{n+1} [/mm] mit den Faktoren dahinter betrachten, oder mal das für n=10 hinschreiben oder oder, ohne einbisel rumzuprobieren kommt man nicht weit. Also sei experimentierfreudiger!
Gruss leduart
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ok also erstma danke für deine hilfe. auch wenn ich deine letzte antwort etwas pampig fand. ich probier schon seit tagen daran rum und versuch das ohne hiilfe hinzubekommen...
naja jetz hab ich folgende lösungen:
a) [mm] \bruch{1}{3n}\le\bruch{1}{n(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}
[/mm]
Da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3n} [/mm] eine divergente Minorante ist, divergiert nach Minorantenkriterium auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}.
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{2}n\le\bruch{1}{2^{n+1}}2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)
[/mm]
Da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2}n [/mm] eine divergente Minorante ist, divergiert nach Minorantenkriterium auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}\bruch{(2n)!}{2n!}.
[/mm]
hoffe das ist jetz soweit richtig...
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Hallo trixi,
erstmal zu den Aufgaben:
> naja jetz hab ich folgende lösungen:
>
> a) [mm]\bruch{1}{3n}\le\bruch{1}{n(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}[/mm]
>
> Da [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3n}[/mm] eine divergente
> Minorante ist, divergiert nach Minorantenkriterium auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}.[/mm]
Super. Das ist eine richtige Lösung.
> b)
> [mm]\bruch{1}{2}n\le\bruch{1}{2^{n+1}}2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)[/mm]
>
> Da [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2}n[/mm] eine divergente
> Minorante ist, divergiert nach Minorantenkriterium auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}\bruch{(2n)!}{2n!}.[/mm]
>
> hoffe das ist jetz soweit richtig...
Ja, auch das ist richtig. Allerdings wird in der Notation nicht deutlich, warum die Abschätzung stimmt. Es ist sicher besser, hier die Produktschreibweise zu wählen, u.a. weil Du dann den Faktor [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] zerlegen musst, wahrscheinlich so, dass ein [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] vor dem Produktzeichen steht, und eines darin. Du hast ja n Faktoren. Den ersten ziehst Du dann auch noch aus dem Produkt heraus, und dann siehst jeder, dass und warum Deine Abschätzung für [mm] n\ge{1} [/mm] richtig ist - also für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
So, und jetzt das andere:
> ok also erstma danke für deine hilfe. auch wenn ich deine
> letzte antwort etwas pampig fand. ich probier schon seit
> tagen daran rum und versuch das ohne hiilfe
> hinzubekommen...
Nimm's nicht übel. leduart ist ein freundlicher Mensch und leistet hier sehr qualifizierte und unglaublich umfangreiche Hilfe. Dafür klingen die oft knappen Formulierungen manchmal etwas barsch. Glaub mir, das meiste liegt einfach daran, dass wir hier notwendigerweise schriftlich miteinander kommunizieren.
Den Hinweis, dass Probieren (ich hätte sogar gesagt: Herumspielen) einen oft weiterbringt, würde ich dabei durchaus unterstützen. Hauptsache, man verliert nicht den Überblick über das Spiel...
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Fr 27.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo trixi,
nur der Vollständigkeit halber:
> a)
> [mm]\red{\summe_{n=1}^{\infty}}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}=\bruch{1}{n*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}[/mm]
>
> b)
> [mm]\red{\summe_{n=1}^{\infty}}2^{-n}*\bruch{(2n)!}{2n!}=\bruch{1}{2^{n+1}}*2n(2n-1)(2n-2)***(n+1)[/mm]
Die Summenzeichen sind entweder links zuviel oder fehlen rechts. So stimmen die Gleichungen ja nicht.
Was Du da gerade versuchst, ist natürlich trotzdem klar. Sei nur in Klausuren etc. vorsichtig, das wird als Fehler gewertet.
lg
reverend
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