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| Aufgabe | zeigen Sie: ist |x|<1, dann gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1) [mm] x^{k} [/mm] = [mm] (1-x)^{-2}
[/mm]
Hinweis: Herleitung der geometr. Summenformel |
Hallo! hab schon mal etwas umgeformt und komme auf:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}kx^{k} [/mm] + [mm] (1-x)^{-1}
[/mm]
aber der hinweis hilft mir irgendwie nicht viel. weiß jemand einen guten rat?
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Hallo sepp-sepp,
schreib alles, was nicht summiert wird, besser vor die Summe, oder mach um die gesamte Summe eine ordentliche große Klammer - das geht mit \left( und entsprechend [mm] \backslash [/mm] right). (Nur mag mich der Formeleditor gerade nicht. Schau mal unten)
Du hast also so umgeformt:
[mm] \summe_{k=0}^\infty (k+1)x^k=\summe_{k=0}^\infty kx^k+x^k=\summe_{k=0}^\infty kx^k+\summe_{k=0}^\infty x^k=\left(\summe_{k=0}^\infty kx^k\right)+\bruch{1}{1-x}
[/mm]
wobei Du im letzten Schritt bereits vorausgesetzt hast, dass |x|<1 ist.
Die jetzige Summe enthält als erstes Glied eine Null. Sie könnte also genausogut bei k=1 anfangen, ohne sich zu verändern. Ich lasse den schon ausgerechneten Teil (geometrische Reihe) vorläufig weg - aber nur um Schreibarbeit zu sparen.
[mm] \summe_{k=0}^\infty kx^k=\summe_{k=1}^\infty kx^k=\cdots
[/mm]
...und jetzt brauchst Du eine Indexverschiebung: summiere über ein j so, dass vor der Potenz von x der Faktor (j+1) steht. Wie sieht dann der Exponent aus? Vergleiche mal mit der ursprünglichen Reihe. Da gibt es einen Zusammenhang, der Dir hilft, den Wert der Reihe zu bestimmen.
Viel Erfolg!
reverend
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sorry aber des versteh ich jetzt nicht ganz. wie meinst du das genau mit der indexverschiebung?
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Hallo nochmal,
Indexverschiebung bedeutet, dass Du die gleichen Summationsglieder auf andere Weise als Summe schreibst, nämlich mit einem verschobenen Index. Hier bietet sich an, einen Index j einzuführen, so dass die Summe von j=0 bis [mm] \infty [/mm] gebildet wird. Es gilt also j=k-1 bzw. k=j+1, und man erhält:
[mm] \summe_{k=0}^\infty kx^k=\summe_{k=1}^\infty kx^k=\summe_{j=0}^\infty (j+1)x^{j+1}=\summe_{j=0}^\infty x*(j+1)x^{j}=x*\summe_{j=0}^\infty (j+1)x^{j}=\cdots
[/mm]
Die ganze Rechnung bis hier lautet also abgekürzt:
[mm] \summe_{k=0}^\infty (k+1)x^k=\bruch{1}{1-x}+\summe_{k=0}^\infty kx^k=\bruch{1}{1-x}+x*\summe_{j=0}^\infty (j+1)x^{j}
[/mm]
Nun wären die ganz linke und die ganz rechte Summe ja gleich, wenn nur die Indexvariablen gleich hießen...
Und, hast Du jetzt eine Idee?
lg
reverend
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Sorry, die Idee versteh ich schon, aber mir gelingt es einfach nicht, die summe so umzuformen, dass ich statt dem j ein k stehen habe! kannst du / ihr mir nochmal draufhelfen?
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> Sorry, die Idee versteh ich schon, aber mir gelingt es
> einfach nicht, die summe so umzuformen, dass ich statt dem
> j ein k stehen habe! kannst du / ihr mir nochmal
> draufhelfen?
Ja mei!
Tauf das j halt um in k!
(Wenn Du sie Summe mal ausschriebst, wird Dir klar werden, daß es total schnuppe ist, wie der Summationsindex heißt.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Sa 12.12.2009 | | Autor: | sepp-sepp |
aja, angela, da hast du wohl recht :) dann stehts in einer zeile da. vielen dank für eure hilfe!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Sa 12.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> zeigen Sie: ist |x|<1, dann gilt:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (k+1) [mm]x^{k}[/mm] = [mm](1-x)^{-2}[/mm]
> Hinweis: Herleitung der geometr. Summenformel
> Hallo! hab schon mal etwas umgeformt und komme auf:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}kx^{k}[/mm] + [mm](1-x)^{-1}[/mm]
> aber der hinweis hilft mir irgendwie nicht viel. weiß
> jemand einen guten rat?
Ja, bilde das Cauchyprodukt der geometrisschen Reihe mit sich selbst
FRED
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