konvergenz zeigen kettenbruch < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 So 23.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Wir definieren induktiv [mm] a_{n} [/mm] durch [mm] a_{1}=1 [/mm] , [mm] a_{n+1}=1+ \bruch{1}{a_{n}}
[/mm]
Zeigen sie das [mm] a_{n} [/mm] konvergiert und bestimmen sie den Grenzwert |
Hi,
Ich weiß, dass der Grenzwert g:= 1/2+ [mm] \wurzel{5}/2 [/mm] ist
und will zeigen
[mm] |a_{n} [/mm] -g | [mm] \le \bruch{1}{g^{n+1}}
[/mm]
und dann daraus den Grenzwert folgern.
Allerdings kann ich mit dem Kettenbruch nicht rechnen. Wie stelle ich das an?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
immer dasselbe: 1. beschraenkt, zweitens monoton daraus folgt dann die Konvergenz. Direkt den Unterschied zu g ist viel schwieriger und oft nicht machbar.( meist nur, wenn g rational ist.) und wenn du Konvergenz hast folgt g aus [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] haben denselben GW
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:10 So 23.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
hmmm Monotonie kann ich hier nicht zeigen,oder?
jedes [mm] a_{2n-1} [/mm] geht von unten gegen den goldenen Schnitt
und jdes [mm] a_{2n} [/mm] von oben
[mm] a_{1}a_{3}
vor allem geht es mir aber um den Kettenbruch, wie rechne ich damit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Di 25.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
hallo!
mich würde auch die lösung dieser aufgabe interessieren. den grenzwert zu bestimmen ist kein problem, nur wie zeigt man die konvergenz?
ich dachte mir, man nimmt zwei teilfolgen, eine monoton steigende und eine monoton fallende. nur wie zeige ich die Monotonie der folgen? bei vollständiger induktion komme ich immer zu einem widerspruch (im induktionsschritt zeige ich genau das gegenteil der behauptung...).
alternativ habe ich mir überlegt zu zeigen, dass der abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden folgengliedern immer kleiner wird. aber auch hier hatte ich keinen erfolg.
über hilfe würde ich mich freuen!
gruß
thomas
|
|
|
| |
|
> ich dachte mir, man nimmt zwei teilfolgen, eine monoton
> steigende und eine monoton fallende. nur wie zeige ich die
> Monotonie der folgen? bei vollständiger induktion komme ich
> immer zu einem widerspruch (im induktionsschritt zeige ich
> genau das gegenteil der behauptung...).
Hiho,
also: wie leduart schon sagte: Zeige, dass die Folge monoton ist (in welche Richtung) und durch eine Zahl begrenzt (bei steigend nach oben, bei fallend nach unten), dann folgt daraus die Konvergenz.
Wenn du weisst, dass die Folge konvergiert, kannst du den Grenzwert einfach durch die Rekursive Definition ausrechnen.
MfG,
Gono
|
|
|
| |
|
hi! danke für deine antwort. ich komme aber bei dem beweis der monotonie auf keinen grünen zweig, daran hängt eigentlich alles. ich habe es wie oben schon beschrieben über induktion probiert aber so funktioniert es bei mir nicht... ich beweise im induktionsschritt immer das gegenteil der induktionsvoraussetzung :-(
gibt es noch eine andere art die monotonie zu zeigen?
gruß
thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Fr 06.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> hi! danke für deine antwort. ich komme aber bei dem beweis
> der monotonie auf keinen grünen zweig, daran hängt
> eigentlich alles. ich habe es wie oben schon beschrieben
> über induktion probiert aber so funktioniert es bei mir
> nicht... ich beweise im induktionsschritt immer das
> gegenteil der induktionsvoraussetzung :-(
Wenn ich mich richtig erinnere, alternieren Kettenbrueche meist um den Grenzwert. Monotonie wird sich also nicht zeigen lassen.
Wieviel weisst du denn ueber Kettenbrueche?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Fr 06.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bezeichne den GW mit g
zeige 1. [mm] 1\le a_n\le2
[/mm]
2. falls [mm] a_ng
[/mm]
3. [mm] |a_{n+1}-a_n|=|1/a_n-1/a_{n-1}|<|a_n-a_{n-1}|
[/mm]
dann hst du ne Intervallschachtelung gezeigt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 06.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wir definieren induktiv [mm]a_{n}[/mm] durch [mm]a_{1}=1[/mm] , [mm]a_{n+1}=1+ \bruch{1}{a_{n}}[/mm]
>
> Zeigen sie das [mm]a_{n}[/mm] konvergiert und bestimmen sie den
> Grenzwert
> Hi,
>
> Ich weiß, dass der Grenzwert g:= 1/2+ [mm]\wurzel{5}/2[/mm] ist
>
> und will zeigen
>
> [mm]|a_{n}[/mm] -g | [mm]\le \bruch{1}{g^{n+1}}[/mm]
>
> und dann daraus den Grenzwert folgern.
>
>
> Allerdings kann ich mit dem Kettenbruch nicht rechnen. Wie
> stelle ich das an?
Eine alternative Loesungsmoeglichkeit, falls ihr den Banachschen Fixpunktsatz hattet:
1) Zeige, dass $f : [3/2, 2] [mm] \to [/mm] [3/2, 2]$, $x [mm] \mapsto [/mm] 1 + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] wohldefiniert ist.
2) Zeige, dass $f$ kontrahierend ist
3) Zeige, dass $f$ den Fixpunkt $1/2 + [mm] \sqrt{5/4}$ [/mm] besitzt.
4) Folgere, dass [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen $1/2 + [mm] \srqt{5/4}$ [/mm] konvergiert. (Beachte, dass [mm] $a_2 \in [/mm] [3/2, 2]$ ist.)
LG Felix
|
|
|
|
