konvergenzbereich/randpunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
| Aufgabe | Ermitteln sie den Konvergenzbereich (inclusive der Randpunktuntersuchung ) für die folgenden Potenzreihen
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3}{(-5)^n}*(x-3)^n
[/mm]
[mm] b)\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{(-3)^n}*(x+2)^n
[/mm]
[mm] c)\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{(-4)^n}*(x+3)^n
[/mm]
[mm] d)\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n^n} [/mm] |
so für aufgabenteil a habe ich folgendes geschrieben
[mm] \bruch{3^n}{(-5)^n}*\bruch{(-5)^{n+1}}{3^{n+1}} [/mm] aufgelöst zu
[mm] \bruch{3^n}{(-5)^n}*\bruch{´(-5)^n*(-5)^1}{3^n*3^1} [/mm] gekürzt zu
[mm] -\bruch{5}{3}
[/mm]
=> r = [mm] -\bruch{5}{3} [/mm] für x0 =3 [mm] \hat= \bruch{9}{3}
[/mm]
damit für x1 = x0+r [mm] =\bruch{4}{3}
[/mm]
für x2 = x0-r [mm] =\bruch{14}{3}
[/mm]
diese werte für die randpunktbetrachtung in die ausgangsgleichung eingesetzt
X2 :
[mm] \bruch{3}{(-5)^n}*(\bruch{14}{3}-\bruch{9}{3})^n [/mm] was sich dann schreiben lässt als
[mm] \bruch{3}{(-5)^n}*(\bruch{5}{3})^n [/mm] hier hab ich dann die klammern des 2ten bruchs aufgelöst und dann jeweils die [mm] 5^n [/mm] gekürzt was mich auf
[mm] \bruch{3}{-3^n} [/mm] gebracht hat
was eine alternierende reihe ist deren patialsummen eine nullfolge darstellen womit die reihe in diesem punkt konvergiert
und für
X1:
das selbe spiel nochmal was mich am ende auf
[mm] \bruch {3}{3^n} [/mm] führt was ebenfalls eine nullfolge darstellt womit die reihe auch in diesem punkt konvergiert
=> der kovergenzbereich der reihe ist das intervall [mm] [\bruch{4}{3};\bruch{14}{3}]
[/mm]
so und meine frage lautet ob das korrekt ist ?? bei den rechnungen bin ich mir fast sicher nur bei der abschließenden randpunktbetrachtung und der schlußfolgerung bin ich mir nicht so ganz einig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo tronix!
> so für aufgabenteil a habe ich folgendes geschrieben
>
> [mm]\bruch{3^n}{(-5)^n}*\bruch{(-5)^{n+1}}{3^{n+1}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo kommt denn plötzlich der Exponent bei der 3 her? Davon steht oben in der Aufgabenstellung nichts.
> aufgelöst zu [mm]\bruch{3^n}{(-5)^n}*\bruch{´(-5)^n*(-5)^1}{3^n*3^1}[/mm]
> gekürzt zu [mm]-\bruch{5}{3}[/mm]
Zudem nimmt man hier immer den Betrag, also eine nicht-negative Zahl.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
mmh ok das mitm betrag ist richtig hat aber erstmal nur den effekt das sich nachher die werte für x1 und x2 vertauschen weil aufm blatt hab ichs mit [mm] \bruch{5}{3}stehen [/mm] aber dann beim eintippen hab ich ein minus gesehen und so kam das - dahin zu dem ^n an der 3 kann ich nur sagen mein fehler ich rechne nochmal ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
also ich habs nochmal ohne [mm] 3^n [/mm] gerechnet und dafür dann den ansatz
[mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{\bruch{3}{(-5)^n}}} [/mm] genommen
was zu
[mm] \bruch {1}{\bruch{3}{-5}} [/mm] führt was umgeformt
wieder [mm] -\bruch{5}{3} [/mm] ist
sollte dieser ansatz stimmen würde durch zufall mein oben geschriebener rechenweg wieder stimmen also meine frage ist der ansatz so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo tronix!
Das ist nicht zufällig richtig, das ist völlig ohne Zufall falsch.
Denn Deine "Auflösung" der Wurzel mutet schon etwas grausam an.
Zum einen gehören auch hier unter die Wurzel wieder Betragsstriche.
Zum anderen gilt:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{3} [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
PS: Warum bleibst Du nicht bei dem Quotientenverfahren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
also zu der wurzel muss ich sagen das war nur weils mir irgendwie einleuchtend erschien und ich schonmal eine wurzel auf die art aufgelöst habe (https://www.vorhilfe.de/read?t=697705 aufgabenteil b)aber du hast recht habs jetzt nochmal mit dem quotientenverfahren auf einem leeren blatt neu gemacht und da sah es dann wie folgt aus
[mm] \bruch{3}{(-5)^n}*\bruch{(-5)^{n+1}}{3}
[/mm]
was zu
[mm] \bruch{1}{1}*\bruch{1*(-5)^1}{1} [/mm] führt was mir einen r = 5 ergibt ist das soweit nun richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo tronix!
So stimmt es nun ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
ok dann bin ick ja beruhigt das es nur an meiner zettelwirtschaft liegt ;)
so zur randpunktbetrachtung
[mm] \bruch{3}{(-5)^n}*(-2-3)^n= \bruch{3}{(-5)^n}*\bruch{(-5)^n}{1}=3 [/mm] => divergenz da keine nullfolge
[mm] \bruch{3}{(-5)^n}*(8-3)^n= \bruch{3}{(-5)^n}*\bruch{(5)^n}{1} [/mm] =-3
=> alternierend aber trotzdem divergenz da immer noch keine nullfolge siehe trivialkriterium
also konvergiert die reihe für das intervall (-2;8) ist das so richtig??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
aber ich denke man kann der lösung ansehen was ich gemeint habe nur das mitm aufschreiben da haste meinen wunden punkt getroffen passiert ja auch ab und an das ich hier was anderes rein poste als auf meinem zettel steht aber ich versuche mich zu bessern ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
so und der nächste versuch für
b) ausgangsformel mit dem quotienenansatz umgestellt
[mm] \bruch{2}{(-3)^n}*\bruch{(-3)^n*(-3)}{2} [/mm] gibt r = 3
für x0 = -2
krieg ich dann im verlauf x1= 1 und x2 = -5
was mir dann als randpunktbetrachtung für 1 als alternierend und divergierent ausgibt und für -5 einfach unr divergierent
was mich dann zu dem ergebnis
konvergenzbereich ist das intervall (-5;1) führt is das richtig???
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> konvergenzbereich ist das intervall (-5;1) führt is das
> richtig???
Hallo,
das Ergebnis stimmt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 08.07.2010 | | Autor: | tronix |
meinn ergbnis für c nochmal zur kontrolle
1.quotientenansatz
[mm] \bruch{2}{(-4)^n}*\bruch{(-4)^{n+1}}{2}
[/mm]
ergibt für den radius = 4
x0 = -3 =>
x1 = 1
x2 =-7
randpunktbetrachtung
für x1:
[mm] \bruch{2}{(-4)^n}*(1+3)^n= (-1)^n*2 [/mm] => alternierend sowie trivialkriterium daraus folgt = divergenz
für x2:
[mm] \bruch{2}{(-4)^n}*(-7+3)^n= [/mm] 2 =>trivialkriterium => divergenz
das führt zu dem konvergenzbereich (-7;1) ist das so richtig?
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Hallo tronix,
> meinn ergbnis für c nochmal zur kontrolle
>
> 1.quotientenansatz
>
> [mm]\bruch{2}{(-4)^n}*\bruch{(-4)^{n+1}}{2}[/mm]
Das ist wieder sehr schlecht aufgeschrieben.
In Anlehnung an das Quotientenkriterium berechnet sich der Konvergenzradius r so:
[mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\red{\left|}\frac{a_n}{a_{n+1}}\red{\right|}$
[/mm]
Beachte, dass du diese Formel nicht bedenkenlos anwenden darfst (hier schon, im allg. ist Vorsicht geboten - was zB., wenn du in die Verdrückung kommst, durch 0 zu teilen ..)
"Sicherer" ist das Kriterium von Cauchy-Hadamard, das an das Wurzelkriterium angelehnt ist und nach dem sich der K-Radius berechnet als [mm] $r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
[/mm]
Mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}:=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$
[/mm]
Also auch hier: Mache BETRAGSSTRICHE!!!!!!!!!!!!
>
> ergibt für den radius = 4
>
> x0 = -3 =>
> x1 = 1
> x2 =-7
>
> randpunktbetrachtung
>
> für x1:
>
> [mm]\bruch{2}{(-4)^n}*(1+3)^n= (-1)^n*2[/mm] => alternierend sowie
> trivialkriterium daraus folgt = divergenz
>
> für x2:
>
> [mm]\bruch{2}{(-4)^n}*(-7+3)^n=[/mm] 2 =>trivialkriterium =>
> divergenz
>
>
> das führt zu dem konvergenzbereich (-7;1) ist das so
> richtig?
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Do 08.07.2010 | | Autor: | tronix |
jo sorry das mit den betragsstrichen die stehen halt bei mir aufm zettel drauf aber beim posten lass ich sie halt weg und das mit Cauchy-Hadamard wollte ich jetzt bei d sowieso als ansatz versuchen weil mir das da verdächtig in die richtung aussieht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Do 08.07.2010 | | Autor: | tronix |
mh jetzt bin ich doch ein wenig verwirrt hier mal mein ansatz für d
nach Cauchy-Hadamard
[mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
[/mm]
ist dann für mein beispiel
[mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\bruch{1^n}{n^n}|}}
[/mm]
was dann zu
[mm] \bruch {1}{\bruch{1}{n}} [/mm] führt was umgeformt
[mm] \bruch{n}{1} [/mm] gibt was ja dann [mm] \infty [/mm] währe ????? soll das jetzt heißen die reihe konvergiert für alle x ???
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Hallo nochmal,
> mh jetzt bin ich doch ein wenig verwirrt hier mal mein
> ansatz für d
>
>
> nach Cauchy-Hadamard
>
> [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}[/mm]
>
>
> ist dann für mein beispiel
>
> [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\bruch{1^n}{n^n}|}}[/mm]
>
> was dann zu
>
> [mm]\bruch {1}{\bruch{1}{n}}[/mm] führt was umgeformt
>
> [mm]\bruch{n}{1}[/mm] gibt was ja dann [mm]\infty[/mm] währe ????? soll das
> jetzt heißen die reihe konvergiert für alle x ???
Das wäre so richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Do 08.07.2010 | | Autor: | tronix |
mmh dann schein icks ja jetzt so halbwegs begriffen zu haben und nun sind schon die aufgaben leer ;)
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