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Forum "Analysis des R1" - konvergenzkriterien
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konvergenzkriterien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Do 02.02.2006
Autor: Magma

Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} 100^k/k! [/mm]

konvergent oder divergent?
lösung über quotienten oder wurzelkriterium

ich komm dann irgendwann auf:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} 100/\wurzel[k]{k!} [/mm]

was ja dann 100 ergeben würde, und somit divergent, allerdings sollte laut der aufgabenlösung eigentlich konvergent rauskommen

wo steckt hier der fehler?

*verzweifelt dreinguck*
hilfe!


        
Bezug
konvergenzkriterien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Do 02.02.2006
Autor: leduart

Hallo Magma
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} 100^k/k![/mm]
>  
> konvergent oder divergent?
>  lösung über quotienten oder wurzelkriterium
>  ich komm dann irgendwann auf:
>  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} 100/\wurzel[k]{k!}[/mm]

wieso nimmst du an [mm] \wurzel[k]{k!} [/mm] gegen 1?
nimm hier viel einfacher das Quotientenkriterium, bei Fakultäten ist Wurzelkr. meist schlecht anzuwenden!

> was ja dann 100 ergeben würde, und somit divergent,
> allerdings sollte laut der aufgabenlösung eigentlich
> konvergent rauskommen
>  
> wo steckt hier der fehler?

gruss leduart

Bezug
        
Bezug
konvergenzkriterien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Do 02.02.2006
Autor: Magma

das das mit dem quotientenkriterium geht, ist mir auch klar. mich würd allerdings allgemein intressieren, ob
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k!} [/mm] =1 stimmt.

ich komme deswegen darauf, da laut meiner formelsammlung die k-te wurzel aus k im unendlichen 1 sei.
und da ich annehme, dass k! im unendlichen genauso wie k unendlich ist, nehm ich an, das obiges gilt.

wenn man das ergebnis allerdings mit dem ergebnis vom quotientenergebnis vergleicht, müsste man schlussfolgern, da kommt nicht 1 raus, sondern [mm] \infty [/mm]


Bezug
                
Bezug
konvergenzkriterien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Sa 04.02.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Magma,
Ganz so einfach funktioniert das nicht. es kommt schon ein wenig darauf an wie schnell etwas gegen unendlich geht und k geht eben langsamer gegen unendlich als k! . Noch eine Anregung das es zumindest nicht 1 sein kann:
Für k>3 gilt wohl
[mm] 2^k [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{2^k}<\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k!}[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm]2<\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k!}[/mm]
Der "Grenzwert" muß also schonmal größer als 2 sein.
viele Grüße
mathemaduenn

> das das mit dem quotientenkriterium geht, ist mir auch
> klar. mich würd allerdings allgemein intressieren, ob
>  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k!}[/mm] =1 stimmt.
>  
> ich komme deswegen darauf, da laut meiner formelsammlung
> die k-te wurzel aus k im unendlichen 1 sei.
>  und da ich annehme, dass k! im unendlichen genauso wie k
> unendlich ist, nehm ich an, das obiges gilt.
>  
> wenn man das ergebnis allerdings mit dem ergebnis vom
> quotientenergebnis vergleicht, müsste man schlussfolgern,
> da kommt nicht 1 raus, sondern [mm]\infty[/mm]
>  

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