konvergiert die reihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für welche p,q [mm] \in \IZ [/mm] konvergiert die Reihe ?
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n(ln(n))^p (ln(ln(n)))^q} [/mm] |
weiß jemand wie ich an diese aufgabe rangehen kann? habs mit ein paar kriterien versucht, bin aber nicht sehr weit gekommen.. gibt es da vielleicht irgendeinen trick, durch den ich das dann zb. abschätzen kann?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 So 12.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Für welche p,q [mm]\in \IZ[/mm] konvergiert die Reihe ?
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n(ln(n))^p (ln(ln(n)))^q}[/mm]
>
> weiß jemand wie ich an diese aufgabe rangehen kann? habs
> mit ein paar kriterien versucht, bin aber nicht sehr weit
> gekommen.. gibt es da vielleicht irgendeinen trick, durch
> den ich das dann zb. abschätzen kann?
Hallo,
soweit ich weiß, konvergiert die Reihe [mm] \bruch{1}{n^\alpha} [/mm] für jedes [mm] \alpha [/mm] >1
Nun hast du im Nenner gerade [mm] n^1 [/mm] stehen und müsstest abschätzen, welchen Einfluss diese Logarithmen haben.
Vielleicht solltest du einmal versuchen, den Spezialfall p=-q zu untersuchen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
also muss ich abschätzen für welche p und q [mm] (ln(n))^p (ln(ln(n)))^q [/mm] größer als [mm] n^0 [/mm] ist ? weil dann wäre ja [mm] n^1*n^t [/mm] wenn t>0 ist [mm] n^{1+t}, [/mm] also größer als 1 und die reihe müsste konvergieren.
hab das jetzt mal mit deinem tip p=-q probiert:
[mm] (ln(n))^{-q} (ln(ln(n)))^q [/mm] = [mm] (\bruch{ln(ln(n))}{ln(n)})^q [/mm]
und weil [mm] log_b [/mm] r = [mm] \bruch{log_a r}{log_a b} [/mm] ist hab ich da jetzt stehen:
[mm] =(log_n(ln(n)))^q>n^0
[/mm]
aber jetzt weiß ich grad nicht weiter... mit log und ln zu rechnen ist nicht grade meine stärke :(
|
|
|
| |
|
_______________________________________________
Analog ergibt sich für die noch langsamer konvergierenden bzw. divergierenden Reihen
[mm] \sum_{n=2}^\infty\frac1{n\cdot \ln(n)^\alpha},\quad \sum_{n=3}^\infty\frac1{n\cdot \ln(n)\cdot \ln(\ln(n))^\alpha}, [/mm]
für α > 1 Konvergenz, sonst Divergenz.
_______________________________________________
soweit ich mich erinnern kann hatten wir diesen teil (noch) gar nicht in der vorlesung.. wie wende ich das denn an? oder darf ich das einfach so übernehmen und dann sagen:
[mm] \frac1{2\cdot \ln(2)^p\cdot \ln(\ln(2))^q} [/mm] + [mm] \quad \sum_{n=3}^\infty\frac1{n\cdot \ln(n)^p\cdot \ln(\ln(n))^q}
[/mm]
konvergiert laut Cauchyschem Verdichtungskriterium für:
1.) p>1 und q=0
2.) p=1 und q>1
??
ps: schonmal vielen dank für die vielen tipps
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 15.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Cauchyschen Verdichtungskriterium
