konvex < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 So 07.02.2016 | | Autor: | JXner |
| Aufgabe | Für welche Werte von x ist f(x) konkav/ konvex?
f"(x) = [mm] \bruch{2+4x}{(x-1)^4}
[/mm]
f"(x) < 0 // konkav
<=> ((2+4x > 0 ) [mm] \wedge (x-1)^4 [/mm] < 0 ) v ((2+4x < 0) [mm] \wedge (x-1)^4 [/mm] > 0)
<=> (x > [mm] -\bruch{1}{2} \wedge [/mm] x < 1 ) v (x < [mm] -\bruch{1}{2} \wedge [/mm] x >1) |
Guten Mittag ^^
Irgendwas passt da nicht so ganz bei meiner Rechnung.
Hat jemand den Durchblick und könnte mir meinen Fehler zeigen?
Grüße Joschua
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 So 07.02.2016 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Für welche Werte von x ist f(x) konkav/ konvex?
>
> f"(x) = [mm]\bruch{2+4x}{(x-1)^4}[/mm]
> f"(x) < 0 // konkav
>
> <=> ((2+4x > 0 ) [mm]\wedge (x-1)^4[/mm] < 0 ) v ((2+4x < 0) [mm]\wedge (x-1)^4[/mm]
> > 0)
> <=> (x > [mm]-\bruch{1}{2} \wedge[/mm] x < 1 ) v (x < [mm]-\bruch{1}{2} \wedge[/mm]
> x >1)
> Guten Mittag ^^
>
> Irgendwas passt da nicht so ganz bei meiner Rechnung.
> Hat jemand den Durchblick und könnte mir meinen Fehler
> zeigen?
also einen Durchblick habe ich bei Deiner Rechnung nicht.
Warum bestimmst Du nicht die Nullstelle(n) von f''(x)? Dann musst Du nur noch das Vorzeichen in den entsprechenden Invervallen bestimmen.
>
> Grüße Joschua
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 07.02.2016 | | Autor: | JXner |
Eine Funktion kann konvex oder konkav sein und muss keine Nullstelle besitzen.
Ich hab es mal auf einen anderen Ansatz versucht,
f"(x) < 0
<=> (2+4x < 0 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not= [/mm] 1)
<=> (x < [mm] -\bruch{1}{2} \wedge [/mm] x [mm] \not= [/mm] 1)
Also x [mm] \in ]\infty; -\bruch{1}{2}[
[/mm]
So komme ich auf das gewünschte Ergebnis,
fragt sich nur noch warum was bei meinem ersten Versuch nicht stimmt.
Zur Erklärung:
Die zweite Ableitung der Funktion soll kleiner 0 sein.
Das wird sie, wenn der Term (2+4x) < 0 ist und [mm] (x-1)^4 [/mm] > 0
oder
wenn der Term (2+4x) > 0 ist und [mm] (x-1)^4 [/mm] < 0 ist.
So gesehen, kann [mm] (x-1)^4 [/mm] nicht negativ werden,
also kann die erste Möglichkeit nicht eintreffen und bei der zweiten muss ich dann lediglich noch überprüfen ob es [mm] \not= [/mm] 1 ist.
Ob der Gedankengang richtig ist, müsste mir einer von euch sagen ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 So 07.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Eine Funktion kann konvex oder konkav sein und muss keine
> Nullstelle besitzen.
>
> Ich hab es mal auf einen anderen Ansatz versucht,
>
> f"(x) < 0
> <=> (2+4x < 0 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not=[/mm] 1)
> <=> (x < [mm]-\bruch{1}{2} \wedge[/mm] x [mm]\not=[/mm] 1)
> Also x [mm]\in ]\infty; -\bruch{1}{2}[[/mm]
>
> So komme ich auf das gewünschte Ergebnis,
> fragt sich nur noch warum was bei meinem ersten Versuch
> nicht stimmt.
>
> Zur Erklärung:
> Die zweite Ableitung der Funktion soll kleiner 0 sein.
> Das wird sie, wenn der Term (2+4x) < 0 ist und [mm](x-1)^4[/mm] >
> 0
> oder
> wenn der Term (2+4x) > 0 ist und [mm](x-1)^4[/mm] < 0 ist.
>
> So gesehen, kann [mm](x-1)^4[/mm] nicht negativ werden,
> also kann die erste Möglichkeit nicht eintreffen und bei
> der zweiten muss ich dann lediglich noch überprüfen ob es
> [mm]\not=[/mm] 1 ist.
>
> Ob der Gedankengang richtig ist, müsste mir einer von euch
> sagen ^^
Er ist richtig.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 So 07.02.2016 | | Autor: | notinX |
Wenn Du eine Antwort erwartest, solltest Du Deinen Artikel als Frage deklarieren - nicht als Mitteilung.
> Eine Funktion kann konvex oder konkav sein und muss keine
> Nullstelle besitzen.
Klar kann das sein. Wenn sie aber ihre Krümmung ändert, hat die zweite Ableitung eine Nullstelle.
>
> Ich hab es mal auf einen anderen Ansatz versucht,
>
> f"(x) < 0
> <=> (2+4x < 0 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not=[/mm] 1)
> <=> (x < [mm]-\bruch{1}{2} \wedge[/mm] x [mm]\not=[/mm] 1)
> Also x [mm]\in ]\infty; -\bruch{1}{2}[[/mm]
Nein, die Funktion f ist konkav wenn: [mm] $x\leq -\frac{1}{2}$
[/mm]
Das zugehörige Intervall ist: [mm] $]-\infty,-\frac{1}{2}]$
[/mm]
>
> So komme ich auf das gewünschte Ergebnis,
> fragt sich nur noch warum was bei meinem ersten Versuch
> nicht stimmt.
>
> Zur Erklärung:
> Die zweite Ableitung der Funktion soll kleiner 0 sein.
> Das wird sie, wenn der Term (2+4x) < 0 ist und [mm](x-1)^4[/mm] >
> 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder
> wenn der Term (2+4x) > 0 ist und [mm](x-1)^4[/mm] < 0 ist.
>
> So gesehen, kann [mm](x-1)^4[/mm] nicht negativ werden,
> also kann die erste Möglichkeit nicht eintreffen und bei
Falsch, der zweite Fall kann nicht eintreten, da [mm] $(x-1)^4\geq [/mm] 0$
> der zweiten muss ich dann lediglich noch überprüfen ob es
> [mm]\not=[/mm] 1 ist.
>
> Ob der Gedankengang richtig ist, müsste mir einer von euch
> sagen ^^
Ja, prinzipiell ist er das.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 07.02.2016 | | Autor: | JXner |
Eine Funktion ist konkav für f"(x) < 0 oder konvex für f"(x) [mm] \ge [/mm] 0.
Der zugehörige Intervall ist [mm] ]-\infty; -\bruch{1}{2}[
[/mm]
kleiner Fehler meinerseits, habe vergessen das "-" abzutippen.
Danke für eure Hilfe ^^
Frage ist für mich dann soweit geklärt :)
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