konvex bzw. konkav < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen sind kovex bzw. konkav?
f(x,y) = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 1
f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] - xy + [mm] y^3 [/mm] |
Muss ich, damit ich diese Aufgabe lösen kann, auch die stationären Punkte berechnen?
Ich meine die Hesse-Matrix für die erste Gleichung wäre
[mm] \begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & 2
\end{vmatrix}
[/mm]
Also kommt kein x oder y mehr vor und die Definitheit (= konvex oder konkav) könnte ich bestimmen??? Aber was mach ich, wenn in der Hesse-Matrix nach dem differenzieren noch ein x oder ein y vorkommt?
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Hiho,
erstmal, wie kommst du denn auf diese Hesse-Matrix (sie ist falsch).
Wann ist eine Funktion konvex/konkav?
Wie sehen die Hessematrizzen der beiden Funktionen aus und was weisst du über sie?
MfG,
Gono.
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Eine Funktion ist konvex falls die Hesse-Matrix positiv definit ist und sie ist konkav, falls die Hesse-Matrix negativ definit ist.
Wenn ich die erste Funktion hernehmen, dann
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = 2(x-1)
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial x} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = 2y
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial y} [/mm] = 2
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y} [/mm] = 0
Jetzt bilde ich die Hesse-Matrix:
[mm] A=\pmat{ \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial x} & \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\ \bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial y} } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm]
Was ist daran falsch???
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Hiho
> Eine Funktion ist konvex falls die Hesse-Matrix positiv
> definit ist und sie ist konkav, falls die Hesse-Matrix
> negativ definit ist.
Das stimmt so nicht ganz. Wenn die Hesse-Matrix positiv definit ist, ist sie sogar strikt konvex. Um Konvexität zu zeigen reicht positiv-semidefinit, aber es läuft letztendlich aufs gleiche hinaus.
> Was ist daran falsch???
Schau dir diese Ableitung nochmals an. Deine zweite partielle Ableitung nach x stimmt nicht. Vergleiche die Schritte am besten mit der ersten und zweiten partiellen Ableitung nach y, da machst du es nämlich (komischerweise) richtig.:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = 2(x-1)
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial x}[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = 2y
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial y}[/mm] = 2
Gruß,
Gono.
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Ist die Hesse-Matrix dann:
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] ?? Wenn ja, dann ist diese positiv-definit und die Funktion ist konkav?
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Entschulidung ich meine konkav!
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Hiho,
genau das ist die Hesse-Matrix. Sie ist positiv definit und die Funktion damit konvex und nicht konkav.
MfG,
Gono.
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