konvexe Funktion Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Hasi1 |
| Aufgabe | | sei f:[0,1]-> [mm] \IR [/mm] eine konvexe Funktion, man zeige, dass f steig ist |
Hey ihr lieben und einen schönen Samstag Nachmittag/Abend 
Seit stunden bereitet mir diese Aufgabe Kopfzerbrechen.
Das eine Funktion konvex ist, setzt doch eigentlich voraus, dass sie stetig und auf [0,1] zweimal differenzierbar ist.
Wie zeigt man dann jetzt die Umkehrung? Alles was wir wissen ist ja, dass f'(x)>0.
Für Stetigkeit muss gelten:
[mm] limes_{x \to x_{0}^{-}}f(x) [/mm] = [mm] limes_{x \to x_{0}^{+}}f(x)
[/mm]
aber wie kann man das in diesem Fall verknüpfen?
LG
PS: als Hinweis wird angegeben sich den Differenzquotient 3 er aufeinanderfolgender Zahlen anzuschauen. Doch was ist damit gemeint? Etwa dies:
[mm] f(x_0)= \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
[mm] f(x_{0+1})=\frac{f(x)-f(x_{0}+1)}{x-(x_{0}+1}
[/mm]
..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Sa 26.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr habt konvex sicher nicht mit f'' definiert. WENN eine fkt 2 mal stetig differenzierbar ist, dann kannst du die 2 te Ableitung verwenden um Konvexität zu prüfen , aber das ist eine Folgerung. z.B. künnen auch fkt deren Graphen Ecken haben konvex sein-
zB ist f(x)=|x| konves aber nicht überall differenzierbar.
Also Def von Konvex nachsehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Hasi1 |
Hey
wir haben definiert:
Sei f:[a,b]->R stetig und auf (a,b) zwei mal differenzierbar, dann gilt: f ist konvex, genau dann wenn gilt: f'(x) >0
mehr haben wir nicht definiert
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Sa 26.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das kann nicht eure Definition von konvex sein, denn sie ist einfach falsch. sieh mal in wiki nach konvexen Funktionen, oder in deinem Buch.
wenn du meinst f''>0 ist es zwar richtig, aber nicht eine Definition von konvex, sondern ein SATZ über 2 mal differenzierbare Funktionen.
Also such die Definition raus! die sollte kurz vor dem Beweis dieses Satzes zu finden sein
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 27.04.2014 | | Autor: | Hasi1 |
Hey
meinst du etwas das:
In der Analysis heißt eine reellwertige Funktion konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja das ist richtig, wenn du es jetzt noch in eine Ungleichung für f umwandelst
das solltet ihr benutzt haben um das mit f''> 0 zu zeigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 27.04.2014 | | Autor: | Hasi1 |
Hey
was meinst du genau mit "in eine Ungleichung mit f umwandeln"?
Also die Sekante die durch die beiden Intervallenden geht liegt immer oberhalb der Funktionswerte der Funktion f. Geben wir also dieser Sekante den Namen g(x) , so gilt stets:
g(x) > f(x) aber was hat das mit Stetigkeit zu tun? und was meint der Differenzenquotient dreier aufeinanderfolgender Zahlen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
solange du g)x) nicht hinschreibst zwischen 2 Punkten x und [mm] x_o [/mm] und f (x)für einen Zwischenpunkt, kannst du nichts zeigen.
der Differenzenquotient ist die Steigung zw. x und [mm] x_0 [/mm] bzw den anderen Punkten.
habt ihr den Beweis f''>0 f konvex mit der Def. die du angegeben hast gemacht, dann seh den nochmal nach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 27.04.2014 | | Autor: | Hasi1 |
Hey
den Beweis haben wir nur grob gemacht und so wirklich weiterhelfen tut mir da leider nichts. Aber nach der Definition von g(x) gilt doch:
g(x)=mx + b
m= [mm] \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
oder?
also insgesamt:
[mm] \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}*x [/mm] +b > f(x) oder?
aber so wirklich weiterhelfen tut mir das ja auch nicht. und als Hinweis wird ja genannt den Differenzenquotient von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen zu benutzen. Was hat dies denn damit zu tuen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist zu ungenau, jedes [mm] f(\xi) [/mm] mit [mm] x<\xi
zeichne mal auf, eine konvexe fkt, eevt mit Ecken und 3 Sehnen
Gruss leduart
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