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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mo 08.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo!
Hier nun die zweite Frage bei der ich ein wenig hänge:
Aufgabe 2: Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] konvex, und seien [mm] a,b\in\IR [/mm] mit a<b.
In a) habe ich gezeigt: [mm] f(x)\le\bruch{b-x}{b-a}f(a)+\bruch{x-a}{b-a}f(b)
[/mm]
in b) habe ich gezeigt: [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}\le\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
nun heißt es in c): Sei f differenzierbar. Zeigen Sie mit Hilfe von (b), dass:
[mm] f'(a)\le\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le [/mm] f'(b)
Also es schaut ja schon ziemlich nach dem Differantialquotienten aus, aber der is ja eigentlich definiert als [mm] f'(x)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
[/mm]
Wenn ich den Limes einfach ignoriere und für [mm] \Delta [/mm] x=x-a nehme, erhalte ich [mm] f'(a)=\bruch{f(a+x-a)-f(a)}{x-a}=\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}
[/mm]
Also das was ich zeigen sollte (zumindest auf der linken Seite)
Aber rechts klappt das schon nicht mehr und außerdem hab ich grad eh ein Problem:
f(a) beschreibt doch die Steigung der Tangente die man in dem Punkt a an die Funktion f legen kann, während obige Ungleichung, also [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}, [/mm] mir doch die Steigung der Geraden durch die Punkte f(a) und f(x) angibt, oder?
Aber wie kann denn beides gleich sein?
Das verwirrt mich irgendwie total!
Ich würd mich freuen wenn mir das jemand erklären und einen kleinen tip geben könnte!
Liebe Grüße und schonmal besten Dank
Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulrike!
> Hier nun die zweite Frage bei der ich ein wenig hänge:
>
> Aufgabe 2: Sei [mm]f:\IR\to\IR[/mm] konvex, und seien [mm]a,b\in\IR[/mm] mit
> a<b.
> In a) habe ich gezeigt:
> [mm]f(x)\le\bruch{b-x}{b-a}f(a)+\bruch{x-a}{b-a}f(b)
[/mm]
> in b) habe ich gezeigt:
> [mm]\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}\le\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
>
> nun heißt es in c): Sei f differenzierbar. Zeigen Sie mit
> Hilfe von (b), dass:
> [mm]f'(a)\le\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le[/mm] f'(b)
>
> Also es schaut ja schon ziemlich nach dem
> Differantialquotienten aus, aber der is ja eigentlich
> definiert als [mm]f'(x)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
[/mm]
Hier sehe ich das Problem nicht, vielleicht bin ich ja zu naiv  !
Es gilt doch folgendes: Wenn bei einer (konvergenten) Folge für jedes Folgenglied [mm] $x_n\le [/mm] X$, dann gilt doch auch [mm] $\limes_{n\to\infty} x_n\le [/mm] X$.
Jetzt wende ich das auf die erste Ungleichung an:
[mm] $\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}\le\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\limes_{x\to a} \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}\le \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $f'(a)\le \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}$
[/mm]
War es das nicht schon?
Analog natürlich für die andere Ungleichung.
> Wenn ich den Limes einfach ignoriere und für [mm]\Delta[/mm] x=x-a
> nehme, erhalte ich
> [mm]f'(a)=\bruch{f(a+x-a)-f(a)}{x-a}=\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}
[/mm]
> Also das was ich zeigen sollte (zumindest auf der linken
> Seite)
> Aber rechts klappt das schon nicht mehr und außerdem hab
Das hat sich also hoffentlich erledigt.
> ich grad eh ein Problem:
> f(a) beschreibt doch die Steigung der Tangente die man in
Du meinst hier f'(a), oder?
> dem Punkt a an die Funktion f legen kann, während obige
> Ungleichung, also [mm]\bruch{f(x)-f(a)}{x-a},[/mm] mir doch die
> Steigung der Geraden durch die Punkte f(a) und f(x) angibt,
> oder?
>
> Aber wie kann denn beides gleich sein?
> Das verwirrt mich irgendwie total!
So ganz verstehe ich deine Verwirrung nicht. Die Aufgabe behauptet doch gar nicht, dass das gleich wäre?
Übrigens ist die Behauptung [mm] $f'(a)\le\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le [/mm] f'(b)$ anschaulich sofort klar:
Wenn man bei einer konkaven Funktion (sagen wir, [mm] $f(x)=x^2$) [/mm] eine Sekante einzeichnet (z.B. a=-1 und b=4), dann ist die Steigung der Sekante immer größer als die Steigung der in a gebildeten Tangente und kleiner als die Steigung der Tangente in b.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 08.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo marc!
Ja ich weiß auch nicht recht!
Manchmal steh ich echt aufm schlauch!
Vielen Dank und liebe grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 08.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo marc!
ich glaube ich habe meinen schlauch doch noch nicht verlassen!
Für die linke Ungleichung habe ich es nun so gemacht, wie du geschrieben hast!
Aber bei der rechten.....
[mm] f'(b)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}
[/mm]
und das wär mit [mm] \Delta [/mm] x=x-b
[mm] f'(b)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(b)}{x-b}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
aber so kann ich ja hier nicht vorgehen da ja nicht zwangsweise gelten muß
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le f'(b)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
oder?
wie geh ich nun hier vor?
Ich glaub ich bin grad echt verpeilt!
Liben Dank für deine Hilfe und deine Geduld
Ulrike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulrike!
(Zunächst einmal Entschuldigung dafür, dass ich bei "Aufgabe 1" nicht richtig hingeguckt habe. Werde mich gleich noch damit beschäftigen, wenn ich es (fachlich) schaffe.)
> Aber bei der rechten.....
> [mm]f'(b)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}
[/mm]
>
> und das wär mit [mm]\Delta[/mm] x=x-b
> [mm]f'(b)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(b)}{x-b}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
>
> aber so kann ich ja hier nicht vorgehen da ja nicht
> zwangsweise gelten muß
> [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le f'(b)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
Mmh, wie gesagt, ich bin naiv, deswegen gilt doch hier ganz analog:
[mm] $\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le \bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}$ [/mm] (Aufgabenteil b), glaube ich)
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le \limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le [/mm] f'(b)$
Bin ich zu naiv?
Liebe Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mo 08.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo marc!
Vielen Dank nochmal für deine Mühe!
Du brauchst dich nicht zu hetzen, ich brauch die sachen erst bis Mittwoch Abend!
Ich frag mich nur folgendes:
Es gilt doch laut Definition:
[mm]f'(b)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(b)}{x-b}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
nun kann ich doch aber aus
> [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le \bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}[/mm]
nicht unbedingt folgendes schließen
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\le \limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}[/mm]
weil ja gilt [mm] \limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(b)}{x-b}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
weißt du was ich meine?
der Limes liegt doch laut Definition und bereits gezeigtem zwischen [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] und [mm] \bruch{f(b+\Delta x)-f(b)}{\Delta x}
[/mm]
Vielleicht bin ich ja auch nur zu kompliziert....?
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulrike,
> Ich frag mich nur folgendes:
> Es gilt doch laut Definition:
>
> [mm]f'(b)=\limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(b)}{x-b}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}
[/mm]
Nach welcher Definition denn?
Meinst du Aufgabenteil b)? Dort steht doch
[mm]\bruch{f(\red{a})-f(b)}{\red{a}-b}\le\bruch{f(b)-f(x)}{b-x}[/mm]
Den Grenzübergang mußt du doch dann auf der rechten Seite machen...
> Vielleicht bin ich ja auch nur zu kompliziert....?
Oh, complicated...
Viele Grüße,
Marc
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