konvexe Hülle < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im [mm] \IR^n [/mm] seien [mm] e_0 [/mm] := 0 und [mm] e_i, [/mm] i = 1,...,n die Koordinatenvektoren. Zeige: x = [mm] (x_i)_{i=1,...,n} [/mm] liegt genau dann in der konvexen Hülle [mm] conv(e_0, e_1,..., e_n), [/mm] wenn
[mm] x_i \ge [/mm] 0 für i = 1,...,n und [mm] x_1 [/mm] + ... + [mm] x_n \le [/mm] 1 |
Hallo an alle!
also ich hab da schon mal was gemacht, bin mir aber nicht sicher, ob ich das so machen kann bzw darf.
genau dann heißt ja hin- und rückrichtung.
"=>" ( hier zeige ich die Bedingung für Konvexkombination, um auf konvexe Hülle schließen zu können)
[mm] x_1 [/mm] + ... + [mm] x_n \le [/mm] 1
kann ich denn zu diesem Zeitpunkt sagen, dass ich aus
[mm] x_1*e_1 [/mm] + ... [mm] x_n*e_n \in \IR^n [/mm]
eine Affinkombination machen kann?
falls nicht, wie mache ich das dann?
und mit der bedingung [mm] x_i \ge [/mm] 0 für i = 1,...,n
=> Konvexkombination
=>(aus Def. 6.8(= Menge aller endlichen Konvexkombinationen heißt konvexe Hülle)) x = [mm] (x_i)_{i=1,...,n} [/mm] liegt in der konvexen Hülle [mm] conv(e_0, e_1,..., e_n).
[/mm]
"<="
x = [mm] (x_i)_{i=1,...,n} [/mm] liegt in konvexer Hülle
(aus Def. 6.8 & 6.7 (= Affinkombination [mm] t_1y_1 [/mm] + ... + [mm] t_ly_l \in \IR^n, t_1 [/mm] + ... + [mm] t_l [/mm] = 1 heißt Konvexkombination, wenn [mm] t_i \ge [/mm] 0 für i = 1,...,l))
=> [mm] x_1e_1 [/mm] + ... + [mm] x_ie_i \in \IR [/mm] , [mm] x_1 [/mm] + ... + [mm] x_i \le [/mm] 1
und [mm] x_i \ge [/mm] 0 für i = 1,...,n q.e.d
ist mein beweis so richtig? oder kann ich das so nicht machen?
vielen Dank schonmal für die Antworten
lg
chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Dein Beweis ist ein großes Durcheinander !
1. Sei x [mm] \in [/mm] $ [mm] conv(e_0, e_1,..., e_n), [/mm] $. Dann ex. [mm] t_0, [/mm] ..., [mm] t_n \ge [/mm] 0 mit
[mm] t_0+t_1+ ...+t_n [/mm] = 1 und x = [mm] t_0e_0+ ,,,+t_ne_n
[/mm]
Dann ist aber [mm] x_i [/mm] = [mm] t_i [/mm] für i =1, ..., n , also
[mm] x_1+ ,,,+x_n \le t_0+t_1+ ...+t_n [/mm] = 1
2. Es gelte [mm] x_1+ ,,,+x_n \le [/mm] 1 und [mm] x_i \ge [/mm] 0 (i = 1, ...,n)
Wähle [mm] x_0 \ge [/mm] 0 so, dass [mm] x_0+x_1+ ,,,+x_n [/mm] = 1.
Wegen x = [mm] x_0e_0+x_1e_1+...+x_ne_n, [/mm] ist dann x [mm] \in [/mm] $ [mm] conv(e_0, e_1,..., e_n), [/mm] $
FRED
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