konvexität < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | f: I (=Interval) -> [mm] \IR [/mm] konvex.
Zz (mit Vollst.Ind. nach n):
[mm] \forall n\ge2 \forall a_{1},...,a_{n} \in [/mm] I [mm] \forall \mu_{1},...,\mu_{n} \in \IR [/mm] mit [mm] \mu_{1},... ,\mu_{n} [/mm] > 0 und [mm] \mu_{1}+...+\mu_{n}=1 [/mm] gilt:
f( [mm] \mu_{1}*a_{1}...,\mu_{n}*a_{n}) \le \mu_{1}*f(a_{1})...,\mu_{n}*f(a_{n}) [/mm]
und im Falle f strikt konvex gilt Gleichheit genau dann, wenn [mm] a_{1}=...=a_{n}. [/mm] |
Hi an alle!
Also seien [mm] a_{1}, a_{2}, ...a_{n+1} \in [/mm] I, [mm] \mu_{1},...,\mu_{n+1} \in \IR [/mm] mit [mm] \mu_{1},...,\mu_{n+1} [/mm] > 0 und [mm] \mu_{1}+...+\mu_{n+1}=1
[/mm]
Dann definiere ich mir ein [mm] \lambda_{i} [/mm] := [mm] (\mu_{i})/(\mu_{1}+...+\mu_{n}), [/mm] wobei i=1,...,n
Diese [mm] \lambda_{i} [/mm] 's sind natürlich alle >0 und [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}=1
[/mm]
so nun definiere ich mir ein neues a' welches folgende Form hat: a':= [mm] \mu_{1}*a_{1}+...+\mu_{n}*a_{n}.
[/mm]
Dieses ist sicherlich größer(gleich) als das Minimum der [mm] a_{i} [/mm] und kleiner(gleich) als das maximum aller [mm] a_{i} [/mm] => a' [mm] \in [/mm] I
Aber hier komme ich irgendwie nicht mehr recht weiter.
Vielleicht hätte jemand von euch eine Idee für mich?
Würde mich sehr freuen!
Mfg Sr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mo 21.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Ich verstehe zwar nicht ganz was und warum du dir hier so viel definierst, aber mach doch einfach mal die Induktion.
Mit n=2 ist der Induktionsanfang klar, da mit [mm] \mu_2=1-\mu_1 [/mm] hier genau die Definition von Konvexität dasteht.
Induktionsannahme ist dann, dass das ganze für n gilt und nun machst du den Induktionsschritt nach n+1.
Damit folgt:
[mm] f(\summe_{k=1}^{n+1}\mu_ka_k) [/mm]
[mm] =f(\summe_{k=1}^{n}\mu_ka_k+\mu_{n+1}a_{n+1})
[/mm]
Wegen Konvexität und [mm] \mu_{n+1}=1-\summe_{k=1}^{n}\mu_k [/mm] folgt dann irgendwie der Rest. Probier dich noch mal selber. Wenn du nicht weiter kommst sag einfach nochmal bescheid.
Schönen Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Roli772 |
Ok ja damit ist mir schonmal geholfen, jetzt glaub ich bekomm es so halbwegs zusammen.
Aber inwiefern steht hier dann die Definition von Konvexität schon fast da mit $ [mm] \mu_2=1-\mu_1 [/mm] $?
Die Def. wäre doch:
[mm] \forall x_{1},x_{2} \forall \mu \in [/mm] [0,1] gilt:
[mm] f((1-\mu)*x_{1} [/mm] + [mm] \mu (x_{2})) \le (1-\mu)*f(x_{1}) [/mm] + [mm] \mu f((x_{2}))
[/mm]
Glaub ich steh grad irgendwie auf der Leiter >_>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mo 21.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Na für n=2 steht da
[mm] f(\mu_1a_1+\mu_2a_2)\le\mu_1f(a_1)+\mu_2f(a_2)
[/mm]
Da die Summe der [mm] \mu_i [/mm] = 1 ist und du nur 2 hast setzt du jetzt z.b. [mm] \mu_1=1-\mu_2 [/mm] und das ist doch die Definition von Konvexität. Oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Di 22.12.2009 | | Autor: | Roli772 |
ja stimmt, dann passts.
danke für deine zeit!!
lg Sr
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