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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Fr 19.12.2008 | | Autor: | rainman |
| Aufgabe | Eine Menge [mm]M[/mm] reeller Zahlen heißt nach unten beschränkt,
wenn es ein [mm]a \in \IR[/mm] gibt, sodass [mm]a \le x \text{ für alle } x \in M[/mm] gilt. |
Ich möchte die Bedingung der obigen Aussage in Quantorenschreibweise "umschreiben", bin mir aber noch sehr unsicher. Ist das hier eine korrekte Form (mir ist aufgefallen, dass verschiedene Schreibweisen verwendet werden):
[mm]\forall x \in M \exists a \in \IR: a \leq x[/mm]
Es geht mir dabei weniger um die konkrete Aussage, als mehr um die "Übersetzung" in Quantorenschreibweise. Für Hinweise bin ich dankbar.
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> Eine Menge [mm]M[/mm] reeller Zahlen heißt nach unten beschränkt,
> wenn es ein [mm]a \in \IR[/mm] gibt, sodass [mm]a \le x \text{ für alle } x \in M[/mm]
> gilt.
> Ich möchte die Bedingung der obigen Aussage in
> Quantorenschreibweise "umschreiben", bin mir aber noch sehr
> unsicher. Ist das hier eine korrekte Form (mir ist
> aufgefallen, dass verschiedene Schreibweisen verwendet
> werden):
>
> [mm]\forall x \in M\ \ \exists a \in \IR: a \leq x[/mm]
Dies ist eine falsche "Übersetzung". Sie wäre für jede
beliebige Teilmenge M von [mm] \IR [/mm] gültig.
Die Reihenfolge der Quantoren ist wichtig, und in
der angegebenen sprachlichen Formulierung ist
sie richtig. Korrekt muss es also heissen:
[mm]\exists a \in \IR\ \ \forall x \in M : a \leq x[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 19.12.2008 | | Autor: | rainman |
Vielen Dank, das hatte ich übersehen und die Antwort hilft mir stark weiter.
Vielleicht noch eine generelle Nachfrage. Nehmen wir an, ich verwende diese Schreibweise:
[mm]\forall a \in A\ \exists b \in B\ \forall c \in C: ...[/mm]
Verstehe ich es jetzt richtig, dass a zwar beliebig ist, aber fest bleibt, wenn der zweite Quantor betrachtet wird, und analoges für a,b im dritten Quantor gilt?
Im Prinzip wird die jeweilige Variable also in den inneren Quantoren immer fixiert?
Dann wird mir auch sofort klar, warum die Reihenfolge wichtig ist.
Das ist jetzt bestimmt sehr unmathematisch ausgedrückt, aber trifft es die Sache? Würde mir vom Verständnis helfen...
Vielen Dank,
Rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 19.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Vielen Dank, das hatte ich übersehen und die Antwort hilft
> mir stark weiter.
>
> Vielleicht noch eine generelle Nachfrage. Nehmen wir an,
> ich verwende diese Schreibweise:
>
> [mm]\forall a \in A\ \exists b \in B\ \forall c \in C: ...[/mm]
>
> Verstehe ich es jetzt richtig, dass a zwar beliebig ist,
> aber fest bleibt, wenn der zweite Quantor betrachtet wird,
> und analoges für a,b im dritten Quantor gilt?
Ja, du gibst ein beliebiges a [mm] \in [/mm] A vor, hältst es fest. Dazu existiert b [mm] \in [/mm] B, so dass für alle c [mm] \in [/mm] C (gleichzeitig) irgendwas gilt. Das b kann also zu jedem a [mm] \in [/mm] A unterschiedlich sein, muss aber nicht.
>
> Im Prinzip wird die jeweilige Variable also in den inneren
> Quantoren immer fixiert?
Hmm, schwer zu sagen, was du damit meinst... Schätze, du meinst das Richtige - im Prinzip habe ich es oben beschrieben.
>
> Dann wird mir auch sofort klar, warum die Reihenfolge
> wichtig ist.
>
> Das ist jetzt bestimmt sehr unmathematisch ausgedrückt,
> aber trifft es die Sache? Würde mir vom Verständnis
> helfen...
>
> Vielen Dank,
> Rainer
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Fr 19.12.2008 | | Autor: | rainman |
Vielen Dank, jetzt ist es klar für mich (und meine schwammige Aussage meinte genau das von Dir gesagte). Toll, wie rasch und kompetent es hier Auskunft gibt 
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 19.12.2008 | | Autor: | rainman |
Ich hätte jetzt doch noch einmal eine Frage, die in Zusammenhang mit der vorherigen steht. Ich hoffe es ist OK, wenn ich die hier anfüge.
Ich möchte nun Menge anhand der Quantoren bilden. Also z.B. die Menge aller unteren Schranken eines reellen Intervalls. Eine untere Schranke ist ja ein a gemäss dieser Definition (mit [mm]M \subset \IR[/mm]):
[mm]\exists a \in \IR\ \forall x \in M: a \leq x[/mm]
Aber wie beschreibe ich nun die Menge [mm]U[/mm] aller dieser unteren Schranken korrekt?
[mm]U = \{a\ |\ \forall x \in M: a \leq x\}[/mm]
Ist das richtig? Oder eher "formaler Schwachsinn?" 
Für Tipps bedanke ich mich schon im Voraus!
Rainer
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> Ich möchte nun Mengen anhand der Quantoren bilden.
> Also z.B. die Menge aller unteren Schranken eines
> reellen Intervalls.
> Eine untere Schranke ist ja ein a gemäss dieser Definition
> (mit [mm]M \subset \IR[/mm]):
>
> [mm]\exists a \in \IR\ \forall x \in M: a \leq x[/mm]
Diese Zeile besagt: "Die Menge M besitzt eine untere Schranke"
> Aber wie beschreibe ich nun die Menge [mm]U[/mm] aller dieser
> unteren Schranken korrekt?
>
> [mm]U = \{a\ |\ \forall x \in M: a \leq x\}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
korrekt !
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Fr 19.12.2008 | | Autor: | rainman |
puh - danke! Dann kann ich jetzt mal mit dem weitermachen, was ich eigentlich tun wollte. Das hat mir echt gewaltig geholfen!
Rainer
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