kovarianter Tensor < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 05.06.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit [mm] $dim_R [/mm] V [mm] \geq [/mm] 2$ und sei
$t : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] R$
ein kovarianter Tensor zweiter Stufe. Man beweise: Ist t ein Elementartensor
so gilt für
die Matrix $T = (tij)$ der Koordinaten von t bezüglich einer Basis von V stets $det T = 0$. |
Ich komme hier garnichts weiter,
würde die Aufgabe gerne mit Jemanden bearbeiten
Viele Grüße
Nadia
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 So 05.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadia!
> Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit [mm]dim_R V \geq 2[/mm]
> und sei
> [mm]t : V \times V \to R[/mm]
> ein kovarianter Tensor zweiter
> Stufe. Man beweise: Ist t ein Elementartensor
> so gilt für
> die Matrix [mm]T = (tij)[/mm] der Koordinaten von t bezüglich
> einer Basis von V stets [mm]det T = 0[/mm].
> Ich komme hier
> garnichts weiter,
> würde die Aufgabe gerne mit Jemanden bearbeiten
Wenn t ein Elementartensor ist, gibt es zwei kovariante Tensoren erster Stufe u,v , sodass
[mm] t = u\otimes v [/mm],
also
[mm] t(x,y) = u(x) \otimes v(y) [/mm]
ist.
Insbesondere gilt für die Matrixelemente [mm] $t_{ij}$ [/mm] bzgl. einer Basis [mm] $\{b_1,\dots,b_n\}$ ($n=\dim_\IR [/mm] V$):
[mm] t_{ij} = u(b_i)v(b_j) [/mm] .
Vergleiche die Zeilen dieser Matrix!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 05.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo ihr beiden,
ich sitze vor der gleichen Aufgabe.
> Wenn t ein Elementartensor ist, gibt es zwei kovariante
> Tensoren erster Stufe u,v , sodass
>
> [mm]t = u\otimes v [/mm],
>
> also
>
> [mm]t(x,y) = u(x) \otimes v(y)[/mm]
>
> ist.
>
> Insbesondere gilt für die Matrixelemente [mm]t_{ij}[/mm] bzgl.
> einer Basis [mm]\{b_1,\dots,b_n\}[/mm] ([mm]n=\dim_\IR V[/mm]):
>
> [mm]t_{ij} = u(b_i)v(b_j)[/mm] .
>
> Vergleiche die Zeilen dieser Matrix!
Die Zeilen der Matrix müssen doch linear abhängig sein bzw. es darf kein voller Zeilenrang vorhanden sein, denn dann ist die Matrix nicht invertierbar und die Determinante ist 0 oder? Dann muss ich mindestens eine Nullzeile haben, d.h. [mm] t_{i_{1}},...,t_{i_{n}} [/mm] müssen Null sein für mindestens ein i [mm] \in \{1,...,n\}.
[/mm]
In der ersten Zeile habe ich [mm] u(b_{1})*v(b_{1}), u(b_{1})*v(b_{2}) [/mm] usw.
In der zweiten Zeile steht: [mm] u(b_{2})*v(b_{1}), u(b_{2})*v(b_{2}) [/mm] usw.
Ich seh eigentlich nichts Auffälliges an den Zeilen, außer dass [mm] u(b_{1})*v(b_{2})=u(b_{2})*v(b_{u}) [/mm] sein könnte, aber ob es wirklich so ist, weiß ich nicht. ?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 So 05.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ihr beiden,
>
> ich sitze vor der gleichen Aufgabe.
>
> > Wenn t ein Elementartensor ist, gibt es zwei kovariante
> > Tensoren erster Stufe u,v , sodass
> >
> > [mm]t = u\otimes v [/mm],
> >
> > also
> >
> > [mm]t(x,y) = u(x) \otimes v(y)[/mm]
> >
> > ist.
> >
> > Insbesondere gilt für die Matrixelemente [mm]t_{ij}[/mm] bzgl.
> > einer Basis [mm]\{b_1,\dots,b_n\}[/mm] ([mm]n=\dim_\IR V[/mm]):
> >
> > [mm]t_{ij} = u(b_i)v(b_j)[/mm] .
> >
> > Vergleiche die Zeilen dieser Matrix!
>
> Die Zeilen der Matrix müssen doch linear abhängig sein
> bzw. es darf kein voller Zeilenrang vorhanden sein, denn
> dann ist die Matrix nicht invertierbar und die Determinante
> ist 0 oder? Dann muss ich mindestens eine Nullzeile haben,
> d.h. [mm]t_{i_{1}},...,t_{i_{n}}[/mm] müssen Null sein für
> mindestens ein i [mm]\in \{1,...,n\}.[/mm]
> In der ersten Zeile habe
> ich [mm]u(b_{1})*v(b_{1}), u(b_{1})*v(b_{2})[/mm] usw.
> In der zweiten Zeile steht: [mm]u(b_{2})*v(b_{1}), u(b_{2})*v(b_{2})[/mm]
> usw.
>
> Ich seh eigentlich nichts Auffälliges an den Zeilen,
> außer dass [mm]u(b_{1})*v(b_{2})=u(b_{2})*v(b_{u})[/mm] sein
> könnte, aber ob es wirklich so ist, weiß ich nicht. ?
Tipp: in der ersten Zeile steht überall der Faktor [mm] $u(b_1)$, [/mm] ind der zweiten Zeile überall der Faktor [mm] $u(b_2)$, [/mm] usw. Was bleibt, wenn du diese Faktoren ausklammerst (was du in der Berechnung der Determinante ja einfach tun darfst)?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
