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Hallo Allerseits,
ich habe folgendes Problem:
ich soll beweisen, dass die Koeffizientenmatrix bei kubischen Splines mit
natürlicher Randbedingung positiv definit ist. Die Matrix hat folgende Form:
[mm] \pmat{ 2(h_{1} + h_{2}) & h_{2} & 0 & 0 \\ h_{2} & 2(h_{2} + h_{3}) & h_{3} & 0 \\ 0 & h_{3} & 2(h_{3} + h_{4}) & h_{4} \\ 0 & 0 & h_{4} & 2(h_{4} + h_{5}) }
[/mm]
Mit der Bedingung xT A x > 0, erhält man dann die Gleichung
2 [mm] (h_{1} [/mm] + [mm] h_{2}) x_{1}² [/mm] + 2 [mm] h_{2} x_{2} x_{1} [/mm] +2 [mm] (h_{2} [/mm] + [mm] h_{3}) x_{2}² [/mm] + 2 [mm] h_{3} x_{3} x_{2} [/mm] + ...
Mein Ansatz war jetzt zu zeigen, dass jeweils
2 [mm] (h_{i} [/mm] + [mm] h_{i+1}) x_{i}² [/mm] > 2 [mm] h_{i+1} x_{i+1} x_{i}
[/mm]
gilt. Die [mm] h_{i} [/mm] sind dabei alle positiv, ich weiss aber nicht wie ich das umformen kann, dass es für alle rellen [mm] \vec{x} [/mm] außer dem Nullvektor gilt.
Vielen Dank für Eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nochmal,
ich habe jetzt den Ansatz versucht, dass die Matrix diagonalisierbar sein muss.
Die Matrix mit der diagonalisiert wird sieht dann so aus:
V= [mm]\pmat{ 1 & -h_{2}/h_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -h_{4}/h_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -h_{6}/h_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Dann erhalt man mit [mm] V^{t} [/mm] A V eine Matrix die nur noch die Hauptdiagonale der Ursprungsmatrix enthält (wenn ich richtig gerechnet habe).
Die Eigenwerte sollten ja nun den Einträgen auf der Hauptdiagonalen entsprechen, und da die [mm] h_{i} [/mm] alle positiv sind und damit auch alle Eigenwerte, ist die Matrix dann positiv definit.
Würde mich freuen, wenn das noch mal jemand überprüfen könnte, die Lösung sieht mir jetzt schon recht irre aus.
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Hallo bagleInTheOutback,
Dein Ansatz ist auf jedenfall richtig.
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -h_{2}/h_{1} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -h_{4}/h_{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -h_{6}/h_{5} & 1 }\pmat{ 2(h_{1} + h_{2}) & h_{2} & 0 & 0 \\ h_{2} & 2(h_{2} + h_{3}) & h_{3} & 0 \\ 0 & h_{3} & 2(h_{3} + h_{4}) & h_{4} \\ 0 & 0 & h_{4} & 2(h_{4} + h_{5}) } \pmat{ 1 & -h_{2}/h_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -h_{4}/h_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -h_{6}/h_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Soll dieses Produkt eine Diagonalmatrix sein? Leider komm ich beim multiplizieren nicht auf eine Diagonalmatrix. Vielleicht ist's aber auch schon zu spät und ich sollte schlafen gehen.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
mathemaduenn
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Ich habe es auch noch mal nachgerechnet und bei mir war es wohl auch schon zu spät :)
Der Ansatz könnte zwar funktionieren, aber die richtige Matrix zu finden ist wohl ein bißchen umständlich.
Trotzdem vielen Dank.
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Hallo baggleInTheOutback,
> Mit der Bedingung xT A x > 0, erhält man dann die
> Gleichung
>
> 2 [mm](h_{1}[/mm] + [mm]h_{2}) x_{1}²[/mm] + 2 [mm]h_{2} x_{2} x_{1}[/mm] +2 [mm](h_{2}[/mm] +
> [mm]h_{3}) x_{2}²[/mm] + 2 [mm]h_{3} x_{3} x_{2}[/mm] + ...
>
> Mein Ansatz war jetzt zu zeigen, dass jeweils
>
> 2 [mm](h_{i}[/mm] + [mm]h_{i+1}) x_{i}²[/mm] > 2 [mm]h_{i+1} x_{i+1} x_{i}
[/mm]
>
Wenn man [mm] x_{i+1} [/mm] vergrößert verkleinert kann man diese Ungleichung natürlich immer kippen. Aber die Verwendung von binomischen Formeln könnte nützlich sein. [mm] h_2 x_1^2+2h_2x_1x_2+h_2x_2^2\ge0 [/mm] usw.
gruß mathemaduenn
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Danke für die Lösung!
Mit der Binomischen Formel kann man das recht einfach lösen.
Ich hatte nur übersehen, dass man alles mögliche, was größer als Null ist, z.B. die [mm] h_{i} [/mm] in der binomischen Formel, einfach "ignorieren" oder "rausschmeißen" kann.
Also vilen Dank nochmal für die schnelle Hilfe!
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