kubische gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Di 19.07.2011 | | Autor: | nirvano |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
3x³+4y³= 5z³ |
hallo alle lieben interessierten,
mich würde interessieren, was ist an dieser Gleichung besonders. Fällt irgendjemandem etwas auf?
konstruktive Kommentare bitte.
Danke und ganz liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> 3x³+4y³= 5z³
>
>
> hallo alle lieben interessierten,
> mich würde interessieren, was ist an dieser Gleichung
> besonders. Fällt irgendjemandem etwas auf?
> konstruktive Kommentare bitte.
> Danke und ganz liebe Grüße
Quadrik im Raum
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 08.09.2011 | | Autor: | nirvano |
ja die frage die sich nun stellt ist, dass es leicht zu zeigen ist, dass die gleichung nichttriviale reelle als auch p-adische lösungen für alle p hat. allerdings keine in Q.
jemand eine idee wie ich das zeigen soll?
ganz liebe grüße
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Hallo nirvano,
ich sehe da keinen einfachen Weg.
> ja die frage die sich nun stellt ist, dass es leicht zu
> zeigen ist, dass die gleichung nichttriviale reelle als
> auch p-adische lösungen für alle p hat. allerdings keine
> in Q.
> jemand eine idee wie ich das zeigen soll?
Es sieht so aus, als könnte (und müsste) man den Weg gehen, den Andrew Wiles gegangen ist - also über ![[]](/images/popup.gif) elliptische Kurven und den Modularitätssatz. Das allerdings ist wohl eher etwas für Spezialisten...
Nebenbei: wenn es Lösungen in [mm] \IQ [/mm] gibt, dann auch in [mm] \IN, [/mm] und dann auch p-adische. Leider gilt die Rückrichtung nur zum Teil (nämlich [mm] \IN\to\IQ, [/mm] und nur dies).
Nach ein bisschen Herumrechnerei scheint z übrigens ein Vielfaches von 7 sein zu müssen, ja sogar von [mm] 7^2, [/mm] und - Moment... - auch von [mm] 7^3. [/mm] Vielleicht ist das eine Spur, auf der es doch einfacher geht? Ich sehe allerdings nicht, wieso sich dann kein (x,y)-Paar finden lassen sollte.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 08.09.2011 | | Autor: | nirvano |
ok, das klingt mir nach zuviel arbeit.
wie sieht es aus mit, hab ich mir gedacht, hasse minkowsky????
also wenn lösung in R und in Qp dann auch in Q. Also zu zeigen, dass es lösungen in R gibt und p-adische und somit nach Satz das ganze gezeigt hat??
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Hallo nirvano,
zum Thema "nicht triviale reelle Lösungen":
es geht um die Gleichung $\ [mm] 3*x^3+4*y^3\ [/mm] =\ [mm] 5*z^3$
[/mm]
Falls nur die Lösung (x,y,z)=(0,0,0) als "trivial" gilt,
ist es natürlich trivial, zu zeigen, dass es unendlich viele
nichttriviale reelle Lösungstripel gibt, nämlich je genau
eines zu jedem nicht trivialen Paar [mm] $(x,y)\in\IR^2\smallsetminus\{(0,0)\}$ [/mm] .
Berechnung von z:
$\ z\ =\ [mm] sgn\left(3*x^3+4*y^3\right)*\wurzel[3]{\left|\frac{3*x^3+4*y^3}{5}\right|}$
[/mm]
Um zu zeigen, dass keines dieser nichttrivialen Tripel zu [mm] \IQ^3 [/mm]
gehören kann, müsste man zeigen, dass aus [mm] x\in\IQ [/mm] und [mm] y\in\IQ [/mm]
folgt, dass das zugehörige z nicht rational sein kann.
LG Al-Chw.
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Hallo nochmal,
> ok, das klingt mir nach zuviel arbeit.
Ja, mir auch. Übrigens war die Angabe von [mm] 7^2 [/mm] und [mm] 7^3 [/mm] schlicht falsch; ich habe gerade einen Programmfehler entdeckt. Immerhin bleibt, dass z ein Vielfaches von 7 sein muss.
> wie sieht es aus mit, hab ich mir gedacht, hasse
> minkowsky????
Ja, ich hasse Minkowsky auch. Er schrieb sich mit i, Minkowski. 
Ok, abseits des Kalauers: gute Idee.
> also wenn lösung in R und in Qp dann auch in Q. Also zu
> zeigen, dass es lösungen in R gibt und p-adische und somit
> nach Satz das ganze gezeigt hat??
Dann muss es aber Lösungen für alle [mm] \IQ_p [/mm] geben, sonst gilt der Satz ja nicht.
Im übrigen überzeugt der Nachweis der Existenz von Lösungen immer am besten, wenn man wenigstens eine präsentieren kann. Ich sehe nur nicht, wie man tatsächlich eine findet. Das haben Helmut Hasse und Hermann Minkowski uns ja leider nicht verraten.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:04 Sa 10.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin rev,
> ich sehe da keinen einfachen Weg.
>
> > ja die frage die sich nun stellt ist, dass es leicht zu
> > zeigen ist, dass die gleichung nichttriviale reelle als
> > auch p-adische lösungen für alle p hat. allerdings keine
> > in Q.
> > jemand eine idee wie ich das zeigen soll?
>
> Es sieht so aus, als könnte (und müsste) man den Weg
> gehen, den Andrew Wiles gegangen ist - also über
> elliptische Kurven
> und den Modularitätssatz.
> Das allerdings ist wohl eher etwas für Spezialisten...
ich bezweifle, dass das noetig ist. (Und wuesste auch nicht, wie das gehen soll, da man hier nicht einfach so eine elliptische Kurve hinschreiben kann wie bei der Fermat-Gleichung.)
Den Satz von Fermat fuer einen spezifischen Exponenten kann man uebrigens meist (mehr oder weniger einfach) direkt beweisen. Das Problem ist halt, dass man alle Exponenten abdecken will, deswegen wird es so kompliziert.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Sa 10.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ja die frage die sich nun stellt ist, dass es leicht zu
> zeigen ist, dass die gleichung nichttriviale reelle als
> auch p-adische lösungen für alle p hat. allerdings keine
> in Q.
Reelle Loesungen sind einfach, das hatten wir ja schon.
Um $p$-adische Loesungen zu finden reicht es (bis auf $p [mm] \neq [/mm] 3$) aus, welche in [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] zu finden. Diese kann man dann mit dem Henselschen Lemma zu Loesungen von [mm] $\IZ_p$ [/mm] liften. Wenn $p$ gross genug ist, kann man denke ich mit Mitteln aus der alg. Geometrie/Zahlentheorie argumentieren, die die Anzahl der rationalen Punkte auf einer Varietaet ueber einem endlichen Koerper abschaetzen (Stichwort Hasse-Weil); alle zu kleinen $p$ muss man von Hand abchecken.
Zu Loesungen in [mm] $\IQ$: [/mm] durch Multiplikation mit dem Hauptnenner reicht es aus, sich auf Loesungen in [mm] $\IZ$ [/mm] zu beschraenken, und man sieht schnell dass man $x$ und $y$ als teilerfremd annehmen kann. Weiterhin kann keins von $x$, $y$ und $z$ 0 sein, da man ansonsten ein Problem mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung bekommt. Die Gleichung modulo einer Primzahl oder Primzahlpotenz anzuschauen (und damit modulo einer beliebigen ganzen Zahl) hilft nicht, da wir ja u.a. zeigen sollen dass sie in [mm] $\IZ_p$ [/mm] fuer jedes $p$ eine Loesung hat.
Wenn man googelt, findet man uebrigens schnell das hier
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Mo 12.09.2011 | | Autor: | nirvano |
vielen dank an alle, die sich an dieser diskussion beteiligt hatten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Di 20.09.2011 | | Autor: | nirvano |
Also nochmal an alle,
ich hab eine Lösung gefunden!!!
und zwar ist es so, dass es auszuschließen ist, dass eine Lösung über Q existiert. Ich berufe mich auf den Satz von Selmers, der genau das beweist.
Vielen Dank nochmal an alle ihr wart eine große Hilfe!
nirvano
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> Also nochmal an alle,
> ich hab eine Lösung gefunden!!!
> und zwar ist es so, dass es auszuschließen ist, dass eine
> Lösung über Q existiert. Ich berufe mich auf den Satz von
> Selmers, der genau das beweist.
> Vielen Dank nochmal an alle ihr wart eine große Hilfe!
> nirvano
Schön !
und danke für die Rückmeldung !
LG Al-Chw.
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Kubrik ?