kürzeste Inkubationszeit Tempe < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Inkubationszeit y(T) der Krautfäule auf der Sorte ,Evergreen´´hängt wie folgt von der Temperatur T(10<T<30 Grad Celsius) ab:
y(T)= 6,7e^(0,089*T) + 234,2*e^(-0,089*T)
Bei welcher Temperatur ist die Inkubationszeit am kürzesten? |
Ich bin leider durch die Prüfung gefallen und arbeite jetzt zur übung die Prüfungsaufgaben nochmal durch.
Zu der hier habe ich leider weder im Skript, noch in den Übungen was gefunden.
Das Problem ist hier vor allem, dass ich kein logarithmus und diese e in der Schule hatte. Deswegen ist die Funktion für mich sehr schwer zu handeln.
Ich habe überlegt wie man die Aufgabe am sinnvollsten lösen könnte. Aber was gutes ist mir nich eingefallen. Natürlich kann man Zahlen zwischen 10 und 30 für T einsetzen und gucken wann das Ergebnis am kleinsten wird. Aber ganz exakt funktioniert das mit der Methode nicht. Da gibt es sicher etwas bessers. Vielleicht könnte ihr mir da ja helfen 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Fr 05.03.2010 | | Autor: | Fawkes |
hi,
sieht mir auf den ersten blick nach ner extremwertaufgabe aus. da muss du einfach die extremwerte bestimmen, sprich die fkt ableiten und dann den tiefpunkt in dem gegebenen intervall ausrechnen.
fang also am besten mal mit der ableitung an. setz die dann gleich 0 und dann machste noch die hinreichende bedingung, sprich zweite ableitung ungleich 0 und fertig biste :)
gruß fawkes
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| Aufgabe | | siehe Anfang der Frage |
Okay vielen dank.
Bei diesen Ableitungen mit e usw. weiß ich immer nicht genau ob mein Taschenrechner das richtig macht. Ich selbst kann es aber gar nicht, deswegen poste ich mal hier das Ergebnis für die 1. Ableitung und es wäre super nett, wenn mir einer von euch sagen könnte, ob das richtig ist,
[mm] 0,5963*(1,09308)^x -20,8438*(0,914846)^x
[/mm]
Ich habe den Verdacht das der Taschenrechner solche Ableitungen irgendwie nicht richtig bilden kann, sicher bin ich mir aber nicht. Normale Ableitungen macht er wunderbar.
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Hallo Julia!
Dein Taschenrechner hat schon korrekt gerechnet. Aber diese Darstellung wird Dir beim Weiterrechnen nicht sonderlich helfen.
Du solltest die Ableitung derart bestimmen, dass dort auch immer weiterhin jeweils eine e-Funktion stehen bleibt.
Also ... nicht den Taschenrechner sondern den Grips bemühen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
Naja da ich dieses e in der Schule gar nicht hatte, bin ich eigentlich immer froh wenn es weg ist. Ableitungen damit bilden kann ich selbst nicht und habe mir ja deswegen extra einen sehr teuren Taschenrechner gekauft, der das für mich macht
Der kann zwar auch die Nullstelle ausrechnen, aber irgendwas an dieser Aufgabe, muss man sicher auch selber rechnen, deswegen hier jetzt mal meine Frage:
Wenn wir jetzt die Ableitung benutzen, die der Taschenrechner einem gegeben hat, dann habe ich da ein Problem mit diesen ^x . Ich weiß nicht wie ich die jetzt irgendwie umstellen,wegkriegen, runterkriegen etc. kann. Kann man einfach ne x te Wurzel ziehen oder sowas in der Art? Das sind so Gundsatzprobleme die ich leider immer wieder habe und gerne mal können würde.
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> siehe anfang der frage
> Naja da ich dieses e in der Schule gar nicht hatte, bin
> ich eigentlich immer froh wenn es weg ist. Ableitungen
> damit bilden kann ich selbst nicht und habe mir ja deswegen
> extra einen sehr teuren Taschenrechner gekauft, der das
> für mich macht
> Der kann zwar auch die Nullstelle ausrechnen, aber
> irgendwas an dieser Aufgabe, muss man sicher auch selber
> rechnen, deswegen hier jetzt mal meine Frage:
>
> Wenn wir jetzt die Ableitung benutzen, die der
> Taschenrechner einem gegeben hat, dann habe ich da ein
> Problem mit diesen ^x . Ich weiß nicht wie ich die jetzt
> irgendwie umstellen,wegkriegen, runterkriegen etc. kann.
> Kann man einfach ne x te Wurzel ziehen oder sowas in der
> Art? Das sind so Gundsatzprobleme die ich leider immer
> wieder habe und gerne mal können würde.
versuch deine ausgangsfunktion mal SELBER abzuleiten. du wirst sehen, es ist nicht wirklich schwierig, und auch keine hexerei.
danach wird dir hier schon weitergeholfen!
bsp: [mm] e^x [/mm] abgeleitet bleibt [mm] e^x
[/mm]
[mm] [e^{2x}]'=2*e^{2x} [/mm] (kettenregel)
usw. siehe hier: http://www.iks-mathephysik.de/upload/dott/Die%20e-Funktion.pdf
ab seite 3
und grade in einem biostudium kann ich mir vorstellen, dass e und logfunktionen da zur tagesordnung gehören. so schwer ist es nicht 
gruß tee
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
okay das amche ich dann morgen, wird sicher etwas länger dauern
Hatte jetzt auch bei dem taschenrehcner das Problem, dass ich bei der 2. Ableitung rausbekommen habe, dass es keine Nullstelle gibt. Wenn es keine gibt, bedeutet das doch eigentlich da keine Extrempunkte vorhanden sind oder ? Da ist also auch was schief gelaufen ne
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Hallo Julia031988,
> siehe anfang der frage
> okay das amche ich dann morgen, wird sicher etwas länger
> dauern
>
> Hatte jetzt auch bei dem taschenrehcner das Problem, dass
> ich bei der 2. Ableitung rausbekommen habe, dass es keine
> Nullstelle gibt. Wenn es keine gibt, bedeutet das doch
> eigentlich da keine Extrempunkte vorhanden sind oder ? Da
> ist also auch was schief gelaufen ne
Die 2. Ableitung bestimmt die Art der Extrema, die Du aus
[mm]f'\left(t\right)=0[/mm]
herausbekommen hast.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Die Inkubationszeit y(T) der Krautfäule auf der Sorte ,Evergreen´´hängt wie folgt von der Temperatur T(10<T<30 Grad Celsius) ab:
y(T)= 6,7e^(0,089*T) + 234,2*e^(-0,089*T)
Bei welcher Temperatur ist die Inkubationszeit am kürzesten? |
Hallo,
ich wollte hier kurz meinen gesamten Lösungsweg nochmal aufzeigen und es wäre nett wenn jemand einen Blick drauf werfen könnte, ob alles richtig ist.
f´(x)= [mm] 0,5963*(1,09308)^X [/mm] - 20,8438* [mm] (0,914846)^x
[/mm]
Nullstellen der 1. Ableitung:
[mm] 0,5963*(1,09308)^X [/mm] - [mm] 20,8438*(0,91846)^x [/mm] = 0
N(0/19,9668)
f"(x)= [mm] 0,05307*(1,09308)^x [/mm] + [mm] 1,77291*(0,91846)^x
[/mm]
f"(X)= 0
x= 19,8984
19,8984 > 0
Die Funktion hat bei xE= 0 ein Minimum, dass im Punkt E= (0/19,9668) liegt.
Bei einer Temperatur von 19,9668 Grad, ist die Inkubationszeit am kürzesten.
Wäre das Vorgehen so korrekt? Würde mir das dann zum Mitnehmen in die Prüfung, nämlich so in meine Mappe heften.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Fr 26.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Ableitung passt so nicht.
Du hast:
[mm] y(t)=6,7e^{0,089T}+234,2*e^{-0,089T}
[/mm]
Also:
[mm] y'(t)=6,7*(e^{0,089T}*0,089)+234,2*(e^{-0,089T}*(-0,089))
[/mm]
[mm] =0,5963e^{0,089T}-21,6448e^{-0,089T}
[/mm]
Und
[mm] y'(T)=0,5963(e^{0,089T}*0,089)-21,6448(e^{-0,089T}*(-0,089))
[/mm]
[mm] =0,0053\overline{07}(e^{0,089T}*0,089)+1,9263872e^{-0,089T}
[/mm]
Jetzt mal an die Notwendige Bedingung für Extrempunkte:
y'(T)=0
[mm] \Rightarrow 0,5963e^{0,089T}-21,6448e^{-0,089T}=0
[/mm]
[mm] \gdw 0,5963e^{0,089T}=21,6448e^{-0,089T}
[/mm]
[mm] \gdw 0,5963e^{0,089T}=\bruch{21,6448}{e^{\red{+}0,089T}}
[/mm]
[mm] \gdw 0,5963\left(e^{0,089T}\right)^{2}=21,6448
[/mm]
[mm] \gdw \left(e^{0,089T}\right)^{2}=\green{36,298}
[/mm]
EDIT
Kommst du jetzt weiter?
Marius
P.S.: Die  e-Funktion (und damit auch der Logarithmus Naturalis) sind wesentliche mathematische Hilfsmittel der Naturwissenschaften, so dass du mit diesen umgehen lernen solltest.
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Okay danke. Jetzt habe ich das mit der Ableitung mal wirklich verstanden.
Jetzt müsste ich mit der 2. Ableitung noch nachweisen, dass es sich um ein Minimum handelt.
Aber das Ergebnis erscheint mir für eine Temperatur sehr unwahrscheinlich. Über 4000 Grad, kann ich mir nicht als sinnvolle Lösung vorstellen. Sind Sie sicher das das richtig ist. Meine Lösung mit den 19 Grad erschien mir da etwas logischer.
Ich will mir jetzt nich annmaßen besserwisserisch oder ähnliches zu sein. Es fällt mir halt einfach nur auf und es ist nur eine Nachfrage, ob das wirklich so sein kann. Rein Interessenhalber
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 26.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Okay danke. Jetzt habe ich das mit der Ableitung mal
> wirklich verstanden.
>
> Jetzt müsste ich mit der 2. Ableitung noch nachweisen,
> dass es sich um ein Minimum handelt.
Yep, indem du dein Ergebnis in Y''(T) einsetzt.
>
> Aber das Ergebnis erscheint mir für eine Temperatur sehr
> unwahrscheinlich. Über 4000 Grad, kann ich mir nicht als
> sinnvolle Lösung vorstellen. Sind Sie sicher das das
> richtig ist. Meine Lösung mit den 19 Grad erschien mir da
> etwas logischer.
Ich komme auf eine Temperatur im 2stelligen Bereich.
> Ich will mir jetzt nich annmaßen besserwisserisch oder
> ähnliches zu sein. Es fällt mir halt einfach nur auf und
> es ist nur eine Nachfrage, ob das wirklich so sein kann.
Das könnte sein, aber ich vermute da noch nen Rechnefehler. Zeid mal deine Rechnung.
> Rein Interessenhalber
Ist ja korrekt, dass du nachfragst. Wenn du ein Ergebnis hast, dass grössenmässig fragwürdig ist. Das zeigt doch, dass du über das Ergebnis nachdenkst.
Marius
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ah okay sorry. Da habe ich eine Regel gar nicht beachtet.
Also wenn ich da weitermache wo du aufgehört hast, geht es so weiter:
[mm] 1,00795^x^2 [/mm] = 4078,483985
So wie ich mir das jetzt abgeguckt habe, löst man solche Aufgaben jawohl mit Loagrithmus oder?
Dann also:
[mm] In(1,00795^x^2)= 0,007921x^2
[/mm]
Muss ich das dann auf der anderen Seite auch machen? Also mit den 4078,483985
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Hallo Julia,
und genau darum ist es besser die Ableitung von Hand zu bestimmen.
y' = [mm] 6,7*0,089*e^{0,089*T} [/mm] - [mm] 234,2*0,089e^{-0,089*T}
[/mm]
wenn du (natürlich auf beiden Seiten der Gleichung) ln anwendest kriegst du [mm] ln(e^{0,089*T}) [/mm] = 0,089*T ; ln ist die Umkehrfunktion für [mm] e^x. [/mm] Wenn du jetzt den Ausdruck vom Taschenrechner nimmst, bleibt durch Rundungsfehler immer irgendwas über: [mm] ln(1,09308^T) \not= [/mm] 0,089*T
Ist zwar fast das gleiche, aber eben nur fast.
Dein Ergebnis von irgendwo oben stimmt übrigens T=19,966...
Gruss Christian
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Okay.
Also dann mache ich mal da weiter, wo aufgehört wurde:
[mm] 1,00795^x^2 [/mm] = 36,298 /In
0,007921 [mm] x^2 [/mm] = 3,59176 /: 0,007921
[mm] x^2= [/mm] 453,448 /Wurzel
X= 21,29
Das ist ja jetzt aber nicht diese 19,... Habe ich was falsche gemacht?
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Das sind die Rundungsfehler, die sich seit ganz oben durchziehen. e ist eine unendliche, nichtperiodische Zahl. Wenn du die Ableitung deines TR's benutzt, werden einige Stellen nicht mehr exakt mitgenommen, dasselbe dann beim umstellen, du teilst eine nicht mehr exakte Lösung durch eine andere Zahl, bildest den ln daraus, danach bildest du aus diesem Wert die Wurzel, und teilst dann noch mal durch eine Zahl. Da steht am Ende was, was nur noch ungefähr so ist wie das richtige Ergebnis. Deswegen der wiederholte Rat: von Hand machen, das [mm] e^{()} [/mm] solange wie möglich stehen lassen, und erst am Ende die numerische Rechnung machen.
Beispielsweise kannst du aus y'(T) = [mm] 6,7*0,089*e^{0,089*T} -234,2*0,089*e^{-0,089*T} [/mm] = 0 durch umformen auf
T = [mm] \bruch{ln\bruch{243,2}{6,7}}{2*0,089} [/mm] kommen. Erst dann wird alles berechnet. T = 19,9666...
Gruss Christian
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Ja aber ich komme da auch drauf, wenn ich das mit der Hand mache. Also wenn ich ab der Vorlage rechne, die Rex hier als letztes gegeben hat. Dann lasse ich e auch so und trotzdem ist das der Wert den ich erhalte. Also sicher das es ne Rundungssache ist?
Muss ich den Wert denn jetzt nicht noch irgendwo einsetzten?
Das hier ist doch dann das Ergebnis der 1. Ableitung, die gleich 0 gestzt wurde ne? Dann müsste man doch das Ergebnis jetzt für T einsetzten. Das macht man doch dann glaube ich in der Grundgleichung oder?
Und dann müssen wir doch auch die 2. Ableitung noch gleich 0 setzen und gucken ob der Wert größer oder kleiner 0 ist oder?
Habe mal son Grundlagebbuch gelesen, weil der Unterricht in der Schule mir nicht so hängen geblieben ist und auch nie so mein Fall war. So hätte ich das Vorgehen aus dem Buch jetzt verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 29.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
damit es einmal richtig hier steht:
y(T)= [mm] 6,7e^{0,089*T} [/mm] + [mm] 234,2*e^{-0,089*T}
[/mm]
y'(T)= 6,7*0.089 [mm] e^{0,089*T} [/mm] - [mm] 234,2*0.089*e^{-0,089*T} [/mm]
Extremwerte für y'=0
6,7*0.089 [mm] e^{0,089*T} [/mm] - [mm] 234,2*0.089*e^{-0,089*T} [/mm] =0
6,7*0.089 [mm] e^{0,089*T} [/mm] = [mm] 234,2*0.089*e^{-0,089*T}
[/mm]
teilen durch [mm] e^{-0,089*T} [/mm] d. h. multiplizieren mit [mm] e^{0,089*T} [/mm]
6,7*0.089 [mm] e^{2*0,089*T} [/mm] =234,2*0.089
[mm] e^{2*0,089*T}=234,2*0.089/(6.7*0.089) [/mm] kürzen rechts und ln auf beiden Seiten
[mm] ln(e^{2*0,089*T})=234,2/6.7
[/mm]
2*0.089*T=ln(234,2/6.7)
jetzt erst den TR benutzen n(234,2/6.7)=3.554068
T=ln(234,2/6.7)/(2*0.089)
jetzt den TR benutzen: ergibt T=19.96667
jetzt den Wert von y(T) ausrechnen, in dem man T in
y(T)= [mm] 6,7e^{0,089*T} [/mm] + [mm] 234,2*e^{-0,089*T} [/mm] einsetzt.
y(T)=79.22
nachprüfen ob es ein Min ist
Methode 1, wenn y'' sehr kompliziert, setze 2 Werte links und rechts von T in y(T) ein, wenn beide größer sind als die 79.22, dann ist da ein minimum
Methode 2 bestimme y''(T), setze das [mm] T_E [/mm] ein , wenn [mm] y''(T_E)>0 [/mm] hast du ein Minimum.
also [mm] y''=6.7*0.089°2*e^{0,089*T}+234,2*0.089^2*e^{-0,089*T}>0 [/mm] für alle T, also muss man nicht erst einsetzen.
jetzt bist du fertig.
Meine Frage wie das mit der Prüfung und dem TR ist, und wie die Fragen mit der e-fkt stellen könnnen, ohne dass du die hattest hätte ich gern noch beantwortet.
Wir beantworten ja auch deine Fragen.
Gruss leduart
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Okay ich schreibe das jetzt einfach mal so auf und gucke mir das in Ruhe nochmal an.
Vielen dank.
Achso das mit dem taschenrechner...KP. Gab da jetzt keine genauen Ansagen was man damit rechnen darf und was nicht. Es ist egal welche Note wir haben, muss halt nur mind. 4,0 sein. Und wir dürfen alle Unterlagen mitnehmen die wir wollen. Dieser e Kram stand in den Abirichtlinien für di Schule. Unser Lehrer hat das weggelassen, weil er meinte das kommt in den Abiprüfungen nicht dran. An der Uni denken die jetzt aber man hatte das, was auf die meisten auch zutrifft.
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Eine Frage habe ich nochmal:
In der Zeile wo du schreibst:
teilen durch $ [mm] e^{-0,089\cdot{}T} [/mm] $ d. h. multiplizieren mit $ [mm] e^{0,089\cdot{}T} [/mm] $ ,
also ich verstehe wieso man das jetzt teilen würde. Damit das eben auf der rechten seite weg ist. Aber wieso heißt das dann das man multiplizieren muss? Ich kann nicht nachvollziehen, wieso das auf der rechten Seite durch die Mulitplikation verschwindet. Ich hätte das jetzt wirklich geteilt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 29.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du durch 1/a teilst, ist es doch dasselbe, wie mit a multiplizieren.
wenn du also durch [mm] e^{-r*t}=1/e^{r*t} [/mm] teilst, ist es dasselbe, wie mit [mm] e^{r*t} [/mm] zu multiplizieren.
Gruss leduart.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:25 Fr 26.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Ableitung war schon richtig, nur offensichtlich mit nem GTR einfach abgelesen, aber falsch ist sie deshalb nicht.
Gruss leduart
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> Hallo
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> Deine Ableitung passt so nicht.
>
> Du hast:
>
> [mm]y(t)=6,7e^{0,089T}+234,2*e^{-0,089T}[/mm]
> Also:
>
> [mm]y'(t)=6,7*(e^{0,089T}*0,089)+234,2*(e^{-0,089T}*(-0,089))[/mm]
> [mm]=0,5963e^{0,089T}-21,6448e^{-0,089T}[/mm]
>
> Und
> [mm]y'(T)=0,5963(e^{0,089T}*0,089)-21,6448(e^{-0,089T}*(-0,089))[/mm]
>
> [mm]=0,0053\overline{07}(e^{0,089T}*0,089)+1,9263872e^{-0,089T}[/mm]
>
> Jetzt mal an die Notwendige Bedingung für Extrempunkte:
>
> y'(T)=0
> [mm]\Rightarrow 0,5963e^{0,089T}-21,6448e^{-0,089T}=0[/mm]
> [mm]\gdw 0,5963e^{0,089T}=21,6448e^{-0,089T}[/mm]
>
> [mm]\gdw 0,5963e^{0,089T}=\bruch{21,6448}{e^{\red{+}0,089T}}[/mm]
>
> [mm]\gdw 0,5963\left(e^{0,089T}\right)^{2}=21,6448[/mm]
> [mm]\gdw \left(e^{0,089T}\right)^{2}=4078,483985[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
21,6448/0,5963 = 36,298...
> Kommst du jetzt weiter?
>
> Marius
>
> P.S.: Die e-Funktion (und damit auch der
> Logarithmus Naturalis) sind wesentliche mathematische
> Hilfsmittel der Naturwissenschaften, so dass du mit diesen
> umgehen lernen solltest.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:01 Fr 26.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo ihr beiden
Danke fürs Fehlerfinden, ich habs korrigiert.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Fr 26.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo julia
Kannst du sagen, was das für eine Prüfung ist?
Ist diese Prüfung auf das richtige Anwenden eines TR ausgerichtet?
Dann hast du das fast richtig gemacht, wenigstens was die Ergebnisse betrifft. die sind richtig!
aufgeschrieben hast du die Ergebnisse allerdings schlecht bis falsch.
1. warum hast du [mm] e^{0.089*T} [/mm] umgeschrieben in [mm] 1.09308^T [/mm] das ist zwar richtig, aber für die weitere Rechnung unpraktisch.
2. du schreibst die nullstelle von f(x) als
N(0/19,9668) , das würde bedeuten x (bzw T)=0 und den y Wert solltest du noch berechnen aus f(x)
Dann ist die Angabe E=(19.9, y)
dann hast du f'' berechnet, aber nicht f''(0) sondern f''(19.9) das sollte >0 sein.
Soweit falls es haupsächlich auf den geschickten Umang mit deinem TR angeht.
Ohne en gibt es 2 Wege.
1. du lernst wie man e-fkt ableitet:
[mm] (e^{ax})'=a*e^{ax}
[/mm]
aber hier musst du das nicht unbedingt
Du hast
y(T)= [mm] 6,7e^{0,089*T} [/mm] + [mm] 234,2*e^{-0,089*T} [/mm]
was man wissen [mm] sollte:e^{-0,089*T} =\bruch{1}{e^{0,089*T}}
[/mm]
deshalb kannst du ersetzen [mm] x=e^{0,089*T} [/mm]
und bekommst
y(x)=6.7*x+234.2/x
Kannst du das ohne TR differenzieren, 0setzen und daraus x rauskriegen?
wenn du x hast z. Bsp x=5.9 dann [mm] 5.9=e^{0,089*T} [/mm]
auf beiden Seiten ln anwenden
gibt ln5.9=0.089*T und daraus T
Wie kannst du eine Prüfung machen, in der e-fkt vorkommen, wenn du die nie behandelt hast?
Gruss leduart
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