kugelsymmetrisches Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:27 So 27.06.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Gegeben sei ein kugelsymmetrisches Vektorfeld [mm] F=q\vec{r}/r^{3}. [/mm] Für r>0 gelte [mm] \nabla [/mm] F=0, sowie [mm] \nabla\times F=\vec{0}. [/mm] Es sei in Kugelkoordinaten folgendes [mm] \vec{C} [/mm] definiert: [mm] \vec{C}=q\frac{1-\cos\theta}{r\sin\theta}\vec{e}_{\phi}.
[/mm]
(i) In welchem Teilraum von [mm] G=\{\vec{r}\in\mathbb{R}^{3}|r>0\}ist \vec{C} [/mm] wohldefiniert?
(ii) Weisen Sie nach, dass F als [mm] F=\nabla\times\vec{C} [/mm] geschrieben werden kann.
(iii) Setzt man [mm] F=\nabla\times\vec{C} [/mm] in das Flußintegral [mm] \Phi=\oint_{r=R}d\vec{A}\cdot [/mm] F ein, kann [mm] \Phi [/mm] laut dem Satz von Stokes als Linienintegral ausgedrückt werden. Dabei wird um den Punkt der Oberfläche integriert, bei dem [mm] \vec{C} [/mm] singulär ist. Man zeige, dass der richtige Wert [mm] \Phi=4\pi [/mm] q sich auf dieser Weise wiederherstellen lässt. |
Hallo,
bei (a) hab ich mir einfach gedacht, dass ja [mm] r\sin\theta\neq0 [/mm] sein muss, d.h. [mm] \theta\in(0,\pi). [/mm] Richtig?
Bei (b) habe ich mir zuerst mal den Nabla Operator in Kugelkoordinaten gesucht und bin dann zu folgender Rechnung gekommen:
[mm] \nabla=\partial_{r}\vec{e}_{r}+\frac{1}{r}\partial_{\theta}\vec{e}_{\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_{\phi}\vec{e}_{\phi}. [/mm]
Dann:
[mm] \nabla\times [/mm] C = [mm] \begin{pmatrix}\partial_{r}\\
\frac{1}{r}\partial_{\theta}\\
\frac{1}{r\sin\theta}\partial_{\phi}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\
0\\
q\frac{1-\cos\theta}{r\sin\theta}\end{pmatrix}\\
[/mm]
= [mm] \begin{pmatrix}0\\
-q\frac{-1+\cos\theta}{r\text{\texttwosuperior}\sin\theta}\\
0\end{pmatrix}
[/mm]
Wie komme ich jetzt aber dazu, dass das gleich F ist? Ich wollte [mm] \vec{r} [/mm] in Kugelkoordinaten angeben, also [mm] \vec{r}=(r\cos\theta\sin\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta), [/mm] aber dann komme ich ja nie auf das Ergebnis meiner Rechnung da oben. Was muss ich anders machen?
Um (iii) kümmere ich mich später dann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 29.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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