kurve Entfernung eines punktes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich soll die kürzeste Entfernung eines Punktes zu einer Kurve berechnen.
Ich habe keine Idee, wo ich da ansetzen soll. Gegebnen ist ein Punkt (4;2) und eine Kurve der Form [mm] x^2 = 8x \Rightarrow x = \wurzel{8x} [/mm]. Kann mir jemand evtl. eine Idee geben, wie ich da am besten Beginne?
gruss
docmiller
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Uwe
> hallo,
> ich soll die kürzeste Entfernung eines Punktes zu einer
> Kurve berechnen.
> Ich habe keine Idee, wo ich da ansetzen soll. Gegebnen ist
> ein Punkt (4;2) und eine Kurve der Form [mm]x^2 = 8x \Rightarrow x = \wurzel{8x} [/mm].
> Kann mir jemand evtl. eine Idee geben, wie ich da am
> besten Beginne?
>
Bist du sicher, dass deine Funktion so stimmt?
Das wären ja einfach 2 zur y-Achse parallele Geraden, die eine $x=0$ und die andere $x=8$
Dein gegebener Punkt liegt dann genau zwischen den beiden Geraden, und der kürzeste Abstand ist 4, nämlich zu den Punkten $(0,2)$ und $(8,2)$
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Mo 25.10.2004 | | Autor: | docmiller |
Hallo Paulus,
vielen Dank für deine Antwort.
die vorgegebene Funktion ist [mm]y^2=8x[/mm]. Die Umformung zu [mm]y= \wurzel{8x}[/mm] hatte ich gemacht, da ich dachte, das wäre ein
sinnvoller Schritt.
gruss
docmiller
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:53 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo docmiller,
> ich soll die kürzeste Entfernung eines Punktes zu einer
> Kurve berechnen.
> Ich habe keine Idee, wo ich da ansetzen soll. Gegebnen ist
> ein Punkt (4;2) und eine Kurve der Form [mm]x^2 = 8x \Rightarrow x = \wurzel{8x} [/mm].
> Kann mir jemand evtl. eine Idee geben, wie ich da am
> besten Beginne?
Du meinst hier also die Kurve [mm] y^2=8x.
[/mm]
Die Kurve läßt sich darstellen durch zwei Funktionen, nämlich [mm] $y_1=\wurzel{8x}$ [/mm] und [mm] $y_2=-\wurzel{8x}$ [/mm] (diese ergeben sich durch Wurzelziehen, wie du es getan hast, allerdings hast du die zweite unterschlagen).
Ich schlage vor, diese beiden "Äste" der Kurve getrennt voneinander zu untersuchen (auf den zweiten Ast kann eigentlich sogar ganz verzichtet werden, aber da mir ausser einer anschaulichen Begründung dafür nichts einfällt, müssen wir (bzw. du  ) doch beide untersuchen).
Also zunächst die Untersuchung des 1. Astes [mm] $y_1=\wurzel{8x}$.
[/mm]
Wir suchen dasjenige x, so dass der Punkt [mm] $P(x|\wurzel{8x})$ [/mm] (das ist der Punkt auf dem Graphen mit der x-Koordinate x) den kleinsten Abstand von Q(4|2) hat.
Der Abstand von [mm] P(p_1|p_2) [/mm] und [mm] Q(q_1|q_2) [/mm] berechnet sich allgemein mit der Formel [mm] $d(P,Q)=\wurzel{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}$ [/mm] (dies ist einfach der Satz des Pythagoras auf ein geeignetes Dreieck angewandt), in diesem speziellen Falls also:
[mm] $d(x)=\wurzel{(x-4)^2+(\wurzel{8x}-2)^2}$
[/mm]
Wie du siehst, habe ich direkt [mm] $d(\red{x})$ [/mm] statt $d(P,Q)$ geschrieben und damit ausgedrückt, dass d nur noch von x abhängt.
So ein Gerät nennt sich aber "Funktion", sie liefert für eine beliebige Stelle x den Abstand des zugehörigen Punktes auf dem Graphen zu dem Punkt (4|2).
Ihr Minimum läßt sich leicht mit den Mitteln der Differentialrechnung finden. Randwert x=0 nicht vergessen!
Dasselbe Vorgehen für den 2. Ast der Kurve, dort ist aber gerade (0|0) als Punkt minimalen Abstandes zu (4|2) zu erwarten, und da dieser auch auf dem 1. Ast liegt, ist das dort gefundene Minimum auch tatsächlich das Minimum der gesamten Kurve.
Eine andere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen wäre es, eine Normale an die Kurve zu ermitteln, die durch den Punkt (4|2) geht. Der Schnittpunkt der Normale mit dem Graphen ist dann der gesuchte Punkt kleinsten Abstandes. Der Rechenaufwand dürfte aber nicht geringer als bei der 1. Möglichkeit sein.
Hier nochmal ein Plot der Situation (allerdings nur des ersten 1. Astes):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Di 26.10.2004 | | Autor: | docmiller |
hallo marc,
vielen, vielen Dank für deine sehr ausführliche Erklärung der Herangehensweise. Jetzt komme ich ein ganzes Stück weiter.
Ich melde mich, wenn ich die Lösung habe.
viele Grüße
docmiller
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:11 Di 26.10.2004 | | Autor: | baggio |
Hi,
habs über die normale errechnet, und kam damit eigentlich gut klar. Bei Interesse einfach mal melden. Die Lösung mit dem anderen Weg interessiert mich wirklich brennend. Wäre schön, wenn sich jemand die Mühe macht, das mal vorzurechnen :) und einige Hinweise dazu geben könnte.
Danke
baggio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:50 Do 28.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baggio,
> habs über die normale errechnet, und kam damit eigentlich
> gut klar. Bei Interesse einfach mal melden. Die Lösung mit
> dem anderen Weg interessiert mich wirklich brennend. Wäre
> schön, wenn sich jemand die Mühe macht, das mal
> vorzurechnen :) und einige Hinweise dazu geben könnte.
Ich schlage vor, du versuchst es selbst und stellst uns deine Rechnungen vor, die wir dann ggfs. korrigieren können. Dann hast wenigstens du etwas davon.
Viele Grüße,
Marc
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