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| Aufgabe | Satz:
Es sei
0 [mm] \rightarrow [/mm] M' [mm] \rightarrow^{f} [/mm] M [mm] \rightarrow^{g} [/mm] M'' [mm] \rightarrow [/mm] 0
eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln. Ist M'' ein freier Modul, so spaltet diese Sequenz und es ist
M [mm] \cong [/mm] M' [mm] \oplus [/mm] M''.
Beweis:
Es sei [mm] (v_{i})_{i \in I} [/mm] eine Basis von M'' über R. Da g surjektiv ist, gibt es für alle i [mm] \in [/mm] I ein [mm] x_{i} \in [/mm] M mit [mm] g(x_{i})=v_{i}. [/mm] Es gibt genau eine R-lineare Abbildung s:M'' [mm] \rightarrow [/mm] M mit der Eigenschaft, dass [mm] s(v_{i})=x_{i} [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] I. Diese Abbildung erfüllt g [mm] \circ [/mm] s = [mm] ID_{M''} [/mm] nach Konstruktion. Also spaltet die Sequenz.
Es folgt M=ker g [mm] \oplus [/mm] s(M'') [mm] \cong [/mm] M' [mm] \oplus [/mm] M''. |
Hallo,
leider ist mir bei diesem Beweis der letzte Schritt nicht ganz klar. Warum gilt jetzt
Ker g [mm] \oplus [/mm] s(M'') [mm] \cong [/mm] M' [mm] \oplus [/mm] M''?
Lg
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> Satz:
> Es sei
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> 0 [mm]\rightarrow[/mm] M' [mm]\rightarrow^{f}[/mm] M [mm]\rightarrow^{g}[/mm] M''
> [mm]\rightarrow[/mm] 0
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> eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln. Ist M'' ein freier
> Modul, so spaltet diese Sequenz und es ist
> M [mm]\cong[/mm] M' [mm]\oplus[/mm] M''.
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> Beweis:
> Es sei [mm](v_{i})_{i \in I}[/mm] eine Basis von M'' über R. Da g
> surjektiv ist, gibt es für alle i [mm]\in[/mm] I ein [mm]x_{i} \in[/mm] M
> mit [mm]g(x_{i})=v_{i}.[/mm] Es gibt genau eine R-lineare Abbildung
> s:M'' [mm]\rightarrow[/mm] M mit der Eigenschaft, dass
> [mm]s(v_{i})=x_{i}[/mm] für alle i [mm]\in[/mm] I. Diese Abbildung erfüllt
> g [mm]\circ[/mm] s = [mm]ID_{M''}[/mm] nach Konstruktion. Also spaltet die
> Sequenz.
> Es folgt M=ker g [mm]\oplus[/mm] s(M'') [mm]\cong[/mm] M' [mm]\oplus[/mm] M''.
> Hallo,
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> leider ist mir bei diesem Beweis der letzte Schritt nicht
> ganz klar. Warum gilt jetzt
> Ker g [mm]\oplus[/mm] s(M'') [mm]\cong[/mm] M' [mm]\oplus[/mm] M''?
>
> Lg
Zunächst einmal ist es die Aussage des ![[]](/images/popup.gif) Splitting Lemmas, dass für eine exakte Sequenz [mm] $0\longrightarrow M'\xrightarrow{\ \ f\ \ }M\xrightarrow{\ \ g\ \ }M''\longrightarrow [/mm] 0$ die nachfolgenden drei Bedingungen äquivalent sind:
(i) $f$ ist ein spaltender Monomorphismus, das heißt es gibt ein [mm] $M\xrightarrow{\ \ t\ \ }M'$ [/mm] mit [mm] $t\circ f=1_{M'}$.
[/mm]
(ii) $g$ ist ein spaltender Epimorphismus, das heißt es gibt ein [mm] $M''\xrightarrow{\ \ s\ \ }M$ [/mm] mit [mm] $g\circ s=1_{M''}$.
[/mm]
(iii) Die Sequenz ist isomorph zur Sequenz [mm] $0\longrightarrow M'\xrightarrow{\ \ i_1\ \ }M'\oplus M''\xrightarrow{\ \ p_2\ \ }M''\longrightarrow [/mm] 0$.
Hierbei ist [mm] $i_1$ [/mm] die Inklusion ins Koprodukt und [mm] $p_2$ [/mm] die Projektion des Produktes auf den zweiten Faktor.
Dieses Lemma gilt übrigens in beliebigen additiven Kategorien und lässt sich rein pfeiltheoretisch, das heißt völlig ohne Elemente, beweisen.
Da in deinem Beweis die Gültigkeit von (ii) nachgewiesen wird, gilt (iii) automatisch und insbesondere [mm] $M\cong M'\oplus [/mm] M''$, das heißt man muss sich um nichts weiter kümmern, als um (ii).
Dass [mm] $\ker g\cong [/mm] M'$ gilt, folgt aus Exaktheit, da [mm] $\ker g=\operatorname{im}f$. [/mm] Da aber $f$ ein Monomorphismus ist, ist [mm] $M'\cong\operatorname{im}f$. [/mm] Genauso ist $s$ ein spaltender Monomorphismus, also ist [mm] $sM''=\operatorname{im}s\cong [/mm] M''$
Um spaltende exakte Sequenzen völlig zu verstehen ist ein gutes Verständnis von Biprodukten wichtig. Aus der Definition derselben ergibt sich praktisch alles hier, inklusive eines Beweises des Splitting Lemmas im Allgemeinen Setting trivialerweise.
Übrigens habt ihr nur gezeigt, dass freie Moduln projektiv sind. Man kann auch allgemeiner zeigen, dass $P$ genau dann projektiv ist, wenn $P$ direkter Summand eines freien Moduls ist. Da freie Moduln $M$ via [mm] $M\oplus 0\cong [/mm] M$ trivialerweise Summand eines freien Moduls sind, folgt das so auch direkt.
In jedem Fall benötigt die Aussage "Freie Moduln sind projektiv" aber das Auswahlaxiom!
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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