l1-Folgenraum vollständig < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:32 So 02.05.2010 | | Autor: | steppenhahn |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $l_{1}:=\Big\{(x_{k})_{k\in\IN}\subset\IR\ \Big|\ \sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}| < \infty\Big\}$. [/mm] Darauf wird eine natürliche Addition [mm] $x+y:=(x_i+y_i)_{i\in\IN}$ [/mm] und Multiplikation mit Skalar definiert, so dass ein Vektorraum entsteht. Durch [mm] $||x||_{1}:=\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|$ [/mm] wird dann eine Norm auf [mm] $l_1$ [/mm] definiert. Zeige: Der Raum [mm] (l_{1},||*||_{1}) [/mm] ist vollständig. |
Hallo!
Ich habe einige Ideen für den Beweis, bin mir aber nicht sicher, ob ich alles beachtet habe, deswegen bitte ich euch um einen kritischen Blick  :
Sei [mm] $(x^{(n)})_{n\in\IN}\subset l_{1}$ [/mm] eine Cauchy-Folge von Folgen in [mm] l_{1}, [/mm] d.h. es gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n,m>N: [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] ||x^{(n)} [/mm] - [mm] x^{(m)}||_{1} [/mm] = [mm] ||(x_{i}^{(m)} [/mm] - [mm] x_{i}^{(n)})_{i\in\IN}||_{1} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}^{(m)} [/mm] - [mm] x_{i}^{(n)}|$.
[/mm]
Das bedeutet dann insbesondere, dass
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n,m>N: [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] |x_{i}^{(m)} [/mm] - [mm] x_{i}^{(n)}|\quad \forall i\in\IN$.
[/mm]
D.h., für festes [mm] $k\in\IN$ [/mm] ist [mm] $(x_{k}^{(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] $\IR$. [/mm] Da [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist, hat diese Folge dann einen Limes [mm] $x_{k}\in\IR$.
[/mm]
Es gilt also für alle [mm] $k\in\IR$:
[/mm]
[mm] $\forall \varepsilon_{k} [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n >N : [mm] \varepsilon_{k} [/mm] > [mm] |x^{(n)}_{k} [/mm] - [mm] x_{k}|$.
[/mm]
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Ich möchte nun zeigen, dass [mm] $x^{(n)}$ [/mm] gegen $x = [mm] (x_{k})_{k\in\IN}$ [/mm] bzgl. [mm] ||*||_{1} [/mm] konvergiert. Aber wie mache ich das?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 So 02.05.2010 | | Autor: | Leon23 |
Bis jetzt sind deine Überlegungen alle richtig. Für den letzten Schritt noch ein paar Hinweise:
Wir wollen jetzt zeigen für [mm] $N^\ast$, [/mm] dass für ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] es ein [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] gibt, so dass unabhängig von $N^*$
$ [mm] \sum_{i=1}^{N^\ast} [/mm] | [mm] x_i^{(n)} [/mm] - [mm] x_i [/mm] | < [mm] \varepsilon \quad\text{für}\quad n>N(\varepsilon) [/mm] $.
Was weißt du bereits über diese Summe?
Wir nutzen die Konvergenzeigenschaft aus deiner letzten Zeile
[mm] $\forall \varepsilon_{k} [/mm] > 0 [mm] \exists N_k\in\IN: \forall [/mm] n >N : [mm] \varepsilon_{k} [/mm] > [mm] |x^{(n)}_{k} [/mm] - [mm] x_{k}| \quad\text{für}\quad 1\leq k\leq [/mm] M$
Und teilen weiter die Summe auf
[mm] $\sum_{i=1}^{N^\ast} [/mm] | [mm] x_i^{(n)}-x_i| =\sum_{i=1}^{N^\ast} [/mm] | [mm] x_i^{(n)}-x_i [/mm] - [mm] x_i^{(m)} [/mm] + [mm] x_i^{(m)}| \leq \sum_{i=1}^{N^\ast} [/mm] | [mm] x_i -x_i^{(m)}| +\sum_{i=1}^{N^\ast} [/mm] | [mm] x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|$
[/mm]
Wie muss nun $n,m$ gewählt werden, damit letzten beiden Summen klein werden? Und warum kann $n,m$ so gewählt werden?
Wenn du das hast, ist der letzte Schritt noch zu zeigen, dass [mm] $(x_k)$ [/mm] selbst wieder in [mm] $\ell_1$ [/mm] liegt, d.h. [mm] $||(x_k)||\leq [/mm] C$.
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Hallo Leon23,
vielen Dank für deine Antwort!
> Bis jetzt sind deine Überlegungen alle richtig. Für den
> letzten Schritt noch ein paar Hinweise:
>
> Wir wollen jetzt zeigen für [mm]N^\ast[/mm], dass für ein
> [mm]\varepsilon>0[/mm] es ein [mm]N(\varepsilon)[/mm] gibt, so dass
> unabhängig von [mm]N^*[/mm]
>
> [mm]\sum_{i=1}^{N^\ast} | x_i^{(n)} - x_i | < \varepsilon \quad\text{für}\quad n>N(\varepsilon) [/mm].
>
> Was weißt du bereits über diese Summe?
Ich weiß, dass ich jeden einzelnen Summanden beliebig klein machen kann.
> Wir nutzen die Konvergenzeigenschaft aus deiner letzten
> Zeile
>
> [mm]\forall \varepsilon_{k} > 0 \exists N_k\in\IN: \forall n >N : \varepsilon_{k} > |x^{(n)}_{k} - x_{k}| \quad\text{für}\quad 1\leq k\leq M[/mm]
>
> Und teilen weiter die Summe auf
>
> [mm]\sum_{i=1}^{N^\ast} | x_i^{(n)}-x_i| =\sum_{i=1}^{N^\ast} | x_i^{(n)}-x_i - x_i^{(m)} + x_i^{(m)}| \leq \sum_{i=1}^{N^\ast} | x_i -x_i^{(m)}| +\sum_{i=1}^{N^\ast} | x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|[/mm]
>
> Wie muss nun [mm]n,m[/mm] gewählt werden, damit letzten beiden
> Summen klein werden? Und warum kann [mm]n,m[/mm] so gewählt
> werden?
Ich durchschaue noch nicht ganz, was diese Aufteilung gebracht hat... - die letzte Summe bekommen wir beliebig klein, das geht aus der Cauchy-Folgeneigenschaft hervor.
Muss ich "m" jetzt unendlich wählen?
Da die Summe und der Ausgangsterm unabhängig von "m" ist, darf ich ja einfach diesen Grenzübergang machen, und erzeuge sozusagen in jedem Summanden der Summe den punktweisen Limes [mm] x_{i}, [/mm] da ja [mm] $x_{i}^{(m)}\to x_{i}$ [/mm] für alle [mm] i\in\IN, (m\to\infty).
[/mm]
Stimmt das?
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Ich habe ja dann gezeigt, dass [mm] $(x^{(n)} [/mm] - [mm] x)_{n\in\IN}\in l_{1}$, [/mm] und dass ich weiß, dass [mm] $(x^{(n)})_{n\in\IN}\in l_{1}$ [/mm] nach Voraussetzung. Also ist nach der Vektorraumeigenschaft auch [mm] $x\in l_{1}$.
[/mm]
Stimmt das?
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 04.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Di 04.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich möchte nun zeigen, dass [mm]x^{(n)}[/mm] gegen [mm]x = (x_{k})_{k\in\IN}[/mm]
> bzgl. [mm]||*||_{1}[/mm] konvergiert. Aber wie mache ich das?
Ich hab im werner, Funktionalanalysis, nachgeschaut: Nehme n, m hinreichend klein, fixiere m, lasse n gegen unendlich laufen - dann erhält man die Aussage für endliche Summen bis zu einem N. Da das N beliebig war für alle. Wenn das zu wirr war, schau einfach in dem Buch nach.
SEcki
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Hallo SEcki,
danke für den Tipp!
Werde es mir mal anschauen.
Grüße,
Stefan
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