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| Aufgabe | Sei [mm] $c_{00}(K):=\{(x_n)_{n\in\IN}\in K^\IN | \text{ es gibt ein} n_0, \text{ so dass } x_n=0 \text{ für } n \ge n_0\}\subset l^2(K)$
[/mm]
Zeige: [mm] \overline{c_{00}(K)}=l^2(K) [/mm] (bzgl. der l2-Norm). |
Hallo,
[mm] \overline{c_{00}(K)} [/mm] ist der Abschluss von [mm] c_{00}(K) [/mm] und ich soll zeigen, dass [mm] \overline{c_{00}(K)}=l^2(K) [/mm] (bzgl. der l2-Norm). Bedeutet das, dass die l2-Norm von einem Element aus [mm] \overline{c_{00}(K)} [/mm] minus [mm] l^2(K) [/mm] kleiner als ein vorgegebenes Epsilon ist oder wie muss ich anfangen?
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Di 20.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]c_{00}(K):=\{(x_n)_{n\in\IN}\in K^\IN | \text{ es gibt ein} n_0, \text{ so dass } x_n=0 \text{ für } n \ge n_0\}\subset l^2(K)[/mm]
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> Zeige: [mm]\overline{c_{00}(K)}=l^2(K)[/mm] (bzgl. der l2-Norm).
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> Hallo,
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> [mm]\overline{c_{00}(K)}[/mm] ist der Abschluss von [mm]c_{00}(K)[/mm] und
> ich soll zeigen, dass [mm]\overline{c_{00}(K)}=l^2(K)[/mm] (bzgl.
> der l2-Norm). Bedeutet das, dass die l2-Norm von einem
> Element aus [mm]\overline{c_{00}(K)}[/mm] minus [mm]l^2(K)[/mm] kleiner als
> ein vorgegebenes Epsilon ist oder wie muss ich anfangen?
>
> Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
es wird nicht ein [mm] $\epsilon$ [/mm] vorgegeben, sondern: Es wird ein beliebiges [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vorgegeben, und Du hast dann zu zeigen:
Ist $f [mm] \in l^2(K)\,$ [/mm] beliebig, so gibt es eine Folge [mm] $a=(a_n)_n \in c_{00}(K)$ [/mm] so, dass
[mm] $$\|f-a\|_{l^2} [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Das sieht jetzt erstmal so aus, wie das, was Du gesagt hast, bedeutet aber inhaltlich viel mehr, nämlich:
Für jedes $f [mm] \in l^2(K)$ [/mm] gilt: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein $a [mm] \in c_{00}(K)\,,$ [/mm] dass bzgl. der [mm] $l^2$-Norm [/mm] einen Abstand zu [mm] $f\,$ [/mm] hat, der $< [mm] \epsilon$ [/mm] ist.
Dass eine Menge [mm] $D\,$ [/mm] dicht in einem metrischen Raum [mm] $(X,d)\,$ [/mm] liegt (und beachte, dass normierte Räume metrische induzieren, und daher betrachtet man normierte Räume meist mit der von der Norm induzierten Metrik als metrischen Raum) bedeutet:
Für jedes (beliebige) Element $x [mm] \in [/mm] X$ gilt, dass in jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung ($\epsilon [/mm] > 0$ beliebig) von [mm] $x\,$ [/mm] (man schreibt meist [mm] $U_\epsilon(x)$ [/mm] mit [mm] $U_\epsilon(x):=\{y \in X:d(x,y) < \epsilon\}$) [/mm] ein Element aus [mm] $D\,$ [/mm] liegt (ein wenig formaler heißt das: [mm] $U_\epsilon(x) \cap [/mm] D [mm] \not= \emptyset$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$ und alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$).
Das Standardbeispiel: [mm] $\IQ$ [/mm] liegt dicht in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Dazu muss man mal bewiesen bzw. sich klargemacht haben, dass jede irrationale Zahl Grenzwert einer Folge mit rationalen Gliedern ist. Dann folgt die Behauptung schnell, denn: Jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] ist entweder rational, oder eben irrational. Ist $r [mm] \in \IQ \cap \IR\,,$ [/mm] so liegt $r [mm] \in \IQ\,$ [/mm] sowieso in jeder noch so kleinen Umgebung von sich. Ist $r [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] und [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so folgt die Behauptung wegen der oben stehenden Eigenschaft: Für eine gegen [mm] $r\,$ [/mm] konvergente Folge mit Gliedern in [mm] $\IQ$ [/mm] findet man natürlich zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein rationales Folgenglied, dass einen Abstand $< [mm] \epsilon$ [/mm] zu [mm] $r\,$ [/mm] hat.
Soviel also erstmal zu den Begrifflichkeiten bzw. zu der Aussage, die Du beweisen sollst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Di 20.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die ausführlichen Informationen. Ich habe jetzt verstanden, was ich zeigen soll. Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie man aus dem, was in der Aufgabenstellung steht, darauf kommt:
> Ist [mm]f \in l^2(K)\,[/mm] beliebig, so gibt es eine Folge
> [mm]a=(a_n)_n \in c_{00}(K)[/mm] so, dass
> [mm]\|f-a\|_{l^2} < \epsilon\,.[/mm]
>
> Das sieht jetzt erstmal so aus, wie das, was Du gesagt
> hast, bedeutet aber inhaltlich viel mehr, nämlich:
> Für jedes [mm]f \in l^2(K)[/mm] gilt: Für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt
> es ein [mm]a \in c_{00}(K)\,,[/mm] dass bzgl. der [mm]l^2[/mm]-Norm einen
> Abstand zu [mm]f\,[/mm] hat, der [mm]< \epsilon[/mm] ist.
>
In der Aufgabenstellung steht ja Abschluss von [mm] c_{00}(K), [/mm] ich würde aber nur etwas für [mm] c_{00}(K) [/mm] zeigen. Muss man auch die Richtung zeigen, dass zu jedem f im Abschluss von [mm] c_{00}(K) [/mm] eine Folge in [mm] l^2(K) [/mm] gefunden werden kann, sodass der Abstand minimal ist?
Danke.
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> Vielen Dank für die ausführlichen Informationen. Ich habe
> jetzt verstanden, was ich zeigen soll. Allerdings bin ich
> mir nicht sicher, wie man aus dem, was in der
> Aufgabenstellung steht, darauf kommt:
>
> > Ist [mm]f \in l^2(K)\,[/mm] beliebig, so gibt es eine Folge
> > [mm]a=(a_n)_n \in c_{00}(K)[/mm] so, dass
> > [mm]\|f-a\|_{l^2} < \epsilon\,.[/mm]
> >
> > Das sieht jetzt erstmal so aus, wie das, was Du gesagt
> > hast, bedeutet aber inhaltlich viel mehr, nämlich:
> > Für jedes [mm]f \in l^2(K)[/mm] gilt: Für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm]
> gibt
> > es ein [mm]a \in c_{00}(K)\,,[/mm] dass bzgl. der [mm]l^2[/mm]-Norm einen
> > Abstand zu [mm]f\,[/mm] hat, der [mm]< \epsilon[/mm] ist.
> >
>
> In der Aufgabenstellung steht ja Abschluss von [mm]c_{00}(K),[/mm]
> ich würde aber nur etwas für [mm]c_{00}(K)[/mm] zeigen. Muss man
> auch die Richtung zeigen, dass zu jedem f im Abschluss von
> [mm]c_{00}(K)[/mm] eine Folge in [mm]l^2(K)[/mm] gefunden werden kann, sodass
> der Abstand minimal ist?
Nein. [mm] c_{00} [/mm] wird hier als Teilmenge von [mm] \ell^2 [/mm] versehen mit der [mm] $\ell^2$-Norm [/mm] betrachtet. Damit liegt der Grenzwert einer konvergenten Folge automatisch in [mm] \ell^2
[/mm]
>
> Danke.
Zur anderen Richtung: Zu gegebenem [mm] (x_n)\in\ell^2(K) [/mm] kannst du [mm] (y_n^m)\in c_{00}(K) [/mm] (*) betrachten mit [mm] y_n=x_n [/mm] für [mm] n\le [/mm] m und [mm] y_n=0 [/mm] für n>m. Dann wäre zu zeigen, dass [mm] (y_n^m) [/mm] für [mm] m\to\infty [/mm] in der [mm] $\ell^2$-Norm [/mm] gegen [mm] (x_n) [/mm] konvergiert.
(*) Ein Element aus [mm] c_{00}(K) [/mm] bzw. [mm] \ell^2(K) [/mm] ist ja nach Definition eine Folge von Elementen aus K, sodass du hier eine Folge von Folgen hast.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Do 22.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen. Die Aussage habe ich bewiesen. Dabei kam folgende Frage auf:
Warum ist [mm] l^2(K) [/mm] abgeschlossen?
Ist [mm] (x_n)_{n\in\IN} \in l^2(K), [/mm] so gilt [mm] (x_n)_{n\in\IN} \in K^\IN [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}x_i^2<\infty. [/mm] Nun könnte man zeigen, dass jede (punktweise) konvergente Folge von Folgen ihren Grenzwert in [mm] l^2(K) [/mm] hat, d. h. [mm] (x_n^k)_{k\in\IN}\to x_n [/mm] für [mm] k\to \infty [/mm] ist gegeben und man muss zeigen, dass [mm] (x_n)_{n\in\IN} \in l^2(K). [/mm] Stimmt das soweit?
Danke!
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> Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen. Die
> Aussage habe ich bewiesen. Dabei kam folgende Frage auf:
> Warum ist [mm]l^2(K)[/mm] abgeschlossen?
Hier musst du berücksichtigen, dass die Definition des Abschlusses von der betrachteten Norm abhängt. Deshalb ergibt der Abschluss bezüglich der [mm] l^2-Norm [/mm] nur innerhalb des Raumes [mm] l^2(K) [/mm] einen Sinn, alle nicht zu [mm] l^2(K) [/mm] gehörenden Folgen liegen sozusagen "unendlich weit weg".
Eine ganz andere Frage wäre, wenn ich [mm] l^2(K) [/mm] als z.B. Teilmenge von [mm] l^{\infty}(K) [/mm] (dem Raum aller beschränkten Folgen) versehen mit der Supremumsnorm betrachten würde. In diesem Fall wäre [mm] l^2(K) [/mm] nicht mehr abgeschlossen.
> Ist [mm](x_n)_{n\in\IN} \in l^2(K),[/mm] so gilt [mm](x_n)_{n\in\IN} \in K^\IN[/mm]
> und [mm]\summe_{i=1}^{\infty}x_i^2<\infty.[/mm] Nun könnte man
> zeigen, dass jede (punktweise) konvergente Folge von Folgen
> ihren Grenzwert in [mm]l^2(K)[/mm] hat, d. h. [mm](x_n^k)_{k\in\IN}\to x_n[/mm]
> für [mm]k\to \infty[/mm] ist gegeben und man muss zeigen, dass
> [mm](x_n)_{n\in\IN} \in l^2(K).[/mm] Stimmt das soweit?
Nein. Punktweise Konvergenz impliziert nicht Konvergenz bezüglich der [mm] l^2-Norm. [/mm] Z.B. kann man die Folge [mm] (x_n^k) [/mm] betrachten mit [mm] x_n^k=1 [/mm] für [mm] n\le [/mm] k und [mm] x_n^k=0 [/mm] für n>k. Dann konvergiert [mm] (x_n^k) [/mm] gegen punktweise die folge, die nur aus Einsen besteht und natürlich nicht in [mm] l^2 [/mm] liegt.
> Danke!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 23.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
Betrachtet man den Raum [mm] l^2(K) [/mm] mit der [mm] l^2-Norm, [/mm] so ist dieser abgeschlossen und offen. Betrachtet man jedoch [mm] l^2(K) [/mm] als Teilraum eines anderen Raums, so muss [mm] l^2(K) [/mm] nicht abgeschlossen sein.
Möchte ich zeigen, dass ein Folgenraum abgeschlossen ist, so betrachte ich eine beliebige konvergente Folge von Folgen, z. B. [mm] (x_n^k)_{k\in \IN}, [/mm] die gegen [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] bzgl. der Norm des Folgenraums konvergiert und muss zeigen, dass die Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] auch im Folgenraum liegt.
Habe ich das so richtig verstanden?
Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Fr 23.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Betrachtet man den Raum [mm]l^2(K)[/mm] mit der [mm]l^2-Norm,[/mm] so ist
> dieser abgeschlossen und offen. Betrachtet man jedoch
> [mm]l^2(K)[/mm] als Teilraum eines anderen Raums, so muss [mm]l^2(K)[/mm]
> nicht abgeschlossen sein.
>
> Möchte ich zeigen, dass ein Folgenraum abgeschlossen ist,
> so betrachte ich eine beliebige konvergente Folge von
> Folgen, z. B. [mm](x_n^k)_{k\in \IN},[/mm] die gegen [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm]
> bzgl. der Norm des Folgenraums konvergiert und muss zeigen,
> dass die Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] auch im Folgenraum liegt.
>
> Habe ich das so richtig verstanden?
Ja
FRED
>
> Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 So 25.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die ausführlichen Antworten! Ich habe es jetzt verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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