l'Hospital: Ableitung unklar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{cos(2x)-1+tan(3x^2)}{x^2}
[/mm]
Fein. Da kann ich ja in aller Ruhe l'Hospital anwenden und Zähler und Nenner getrennt ableiten.
Ich komme dann auf:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{-2 * sin(2x) + \frac{6x}{cos^2(3x^2)}}{2x}
[/mm]
In der Musterlösung steht da aber:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{-2 sin(2x)+(1+tan^2(3x^2))6x}{2x}
[/mm]
Wie kommen die auf diese Ableitung?
Danke.
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> Hallo,
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> ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{cos(2x)-1+tan(3x^2)}{x^2}[/mm]
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> Fein. Da kann ich ja in aller Ruhe l'Hospital anwenden und
> Zähler und Nenner getrennt ableiten.
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> Ich komme dann auf:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{-2 * sin(2x) + \frac{6x}{cos^2(3x^2)}}{2x}[/mm]
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> In der Musterlösung steht da aber:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{-2 sin(2x)+(1+tan^2(3x^2))6x}{2x}[/mm]
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> Wie kommen die auf diese Ableitung?
Es gilt eben die trigonometrische Identität
[mm]\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)[/mm]
denn es ist ja
[mm]\frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)[/mm]
Aus diesem Grund ist [mm] $\left(\tan(x)\right)'=\frac{1}{\cos^2(x)}$; [/mm] aber auch [mm] $\left(\tan(x)\right)'=1+\tan^2(x)$
[/mm]
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